Probabilitate baldintzatua

Lagin-espazio berean gertaera estokastikoak jarraian ditugunean, oro har, egoera bi eratakoa izan daiteke:

• Ez dago inolako loturarik gertaeren artean, hots, gertaera batek ez du eraginik bestean.
• Gertaera bakoitzaren emaitzak eragina du ondorengoan.

Gertaera batek A eragina badu B gertaeraren emaitzan, B-ren probabilitateari probabilitate baldintzatua esaten zaio; probabilitate horren adierazpena P (B / A) da, eta haren balioa honako hau:

Esperimentu konposatuak

Esperimentu aleatorio konposatua deitzen zaio zenbait esperimentu aleatorio bakunek osatutakoari. Oro har, esperimentu konposatu bati probabilitate konposatu bat dagokio, eta berau -biderkaduraren probabilitatea ere deitua- honela adierazten da: P (A Ç B) edo P (AB). Probabilitate baldintzatuaren definizioaren arabera, menpeko bi esperimentu sinplek osatutako probabilitate konposatuaren balioa honela kalkulatzen da:

Txanpon bat hiru aldiz gora jaurtitzea esperimentu konposatua da, eta gainekoa zuhaitz-diagrama.

Esperimentu konposatu bateko gertaerak askeak badira, honakoa betetzen da: P (A Ç B) = P (A) × P (B). Esperimentu konposatuak hiru esperimentu bakun baditu, aurreko formula hori aldatu egingo da:

A, B eta C menpekoak badira:P (A Ç B Ç C) = P (ABC) = P (A) × P (B/A) × P (C/A Ç B)A, B eta C askeak badira: P (A Ç B Ç C) = P (A) × P (B) × P (C)

Probabilitate osoa

Esperimentu bateko gertaera elementalak ez badagozkio lagin-espazio osoari, beraren azpimultzo bati baizik, probabilitateen kalkulua konplexuagoa da. Aurrekoaren ohiko adibide gisa, hiru poltsa desberdinetatik bolak ateratzen ditugu, hiru poltsetan bola-multzo ezberdinak utzirik. Zenbateko probabilitatea dago ateratako boletako bat kolore zehatz batekoa izateko?

Horrelakoetan, probabilitate osoaren teoremaz baliatzen gara. Horren arabera, E lagin-espazioa n gertaera bateraezinek osatuta dago (A₁, A₂, ¿, A_n ), beraz E = A₁ È A₂ È ¿ È A_n, izango da; orduan, gertaera bat (B) aztertzen badugu (A₁, A₂, ¿, An-ren probabilitate guztiak jakinik, eta Bren probabilitate baldintzatuak (p(B/A_i)_i=1,2,...,n ere jakinik), ondokoa ondorioztatuko da:

Goiko zuhaitz-diagramak erakusten duen esperimentuan bola gorri bat (R) ateratzen da hiru poltsetako batetik: lehenengo poltsan 2 bola gorri eta 3 beltz daude; bigarrenean, 3 bola gorri eta 7 beltz, eta hirugarren poltsan 4 bola gorri eta 4 beltz daude.

Bayesen teorema

Jada gertatua den fenomeno baten probabilitateari a posteriori probabilitatea esaten zaio. Demagun, adibidez, bola bat hainbat poltsatako batetik ateratzeko esperimentuan badakigula bola gorri bat aterea dela: baina, zein poltsatatik atera dugu bola? Erantzuna a posteriori probabilitateen legeak emango digu.

E lagin-espazioa n gertaera bateraezinek osatuta dago (A1, A2, ¿, An ), beraz E = A₁ È A₂ È ¿ È A_n, izango da; orduan, gertaera bat (B) aztertzen badugu (B-ren probabilitatea jakinik -inoiz ere zero izango ez dena-, eta Ai bakoitzaren a posteriori probabilitatea ere jakinik - i = 1, 2, ¿, n izanik-), ondoko hau lortuko da Bayesen teoremaren bidez: