Topologiak hasieran kurben, azalen eta planoko edo hiru dimentsioko espazioko objektuen arazoak aztertzen zituen. Erlatibitate orokorrari dagokion espazio-denbora, korapiloak, simetria-taldeak, etab. ere aztertzen ditu.

Objektu abstraktuak ere badaude

Objektuak esaten dugunean gauza solidoak ulertzeko joera dugu. Objektu-mota honek aldaera asko ez du, egia esan. Zulo-kopurua da aldaera gehien eragiten duen faktorea. Objektu abstraktuetan, hiru dimentsio baino gehiago dituztenetan, ordea, gauza interesgarriak ikusten dira.

Berez izaera geometrikoa ez duten gauza asko aztertzen ditugu grafikoen bidez. Demagun presioa eta tenperatura erlazionatzen dituen grafiko bat dugula. Aldagai hauek ez dira geometrikoak eta grafikoak dituen maldak, maximoak, azalerak, etab. interpretazio termodinamikoa dute. Berez gai hori aztertzeko ez da geometriaren beharrik; aljebra aski litzateke. Alabaina, errazago ulertzen ditugu gauzak grafikoak erabiltzen ditugunean, intuitiboki atzemangarriagoa gertatzen zaigulako geometria aljebra baino.

Otto-ren zikloa. Gasolina-motor baten barruko presioaren eta bolumenaren arteko erlazioa geometrikoki adierazita.

Hiru aldagai baino gehiagoren arteko erlazioak adierazi behar bagenitu ezin izango genuke marraztu eta intuizioari zailegia egiten zaio hiru dimentsio baino gehiagoko espazio bat nolakoa litzatekeen antzematea. aljebra hutsa erabiliz, berriz, azter liteke fenomenoa, baina hainbeste laguntzen digun ikusmena alde batera geratzen da orduan. Matematikariek aurkitu dute korapilo hori askatzeko era ere: arazoak logika eta aljebra bidez planteatzen dira eta soluzioak ere modu horretan adierazten dira. Kontzeptu geometrikoak erabiltzen dira, baina aljebraikoki formulatuta. Ikusmenean oinarrituriko intuizioak argumentazioan laguntzen du eta zer proba litekeen iradokitzen du bakarrik.

Könisberg-eko zubien arazoa

Izen honekin ezagutzen da Topologia arloan ebatzi zen lehen arazoa. Pregel ibaiak lau lur-zatitan (A, B, C eta D) banatzen du Königsberg-eko herria.

Zazpi zubik lotzen dituzte lur-zati horiek. Zenbait herritarrek jakin nahi zuten ea egin ote daitekeen ibilaldi bat zazpi zubiak zeharkatuz, baina bakoitza behin bakarrik. Hori lortzen saiatu ziren guztiek huts egin zuten, Leonhard Euler (1707-1783) matematikari suitzarrak barne. Alabaina, Euler-ek behintzat asmatu zuen azaltzen zergatik zen ezinezkoa ibilaldi hori.

Euler-ek esan zuen ibilaldi hori egin ahal izango litzatekeela baldin eta lur-zati bakoitza zubi-kopuru bikoiti batez lotuta egongo balitz edota ibilaldia lur-zati batean hasi eta beste batean bukatuko balitz, baina kasu honetan bi lur-zati horiek zubi-kopuru bakoitia behar luketela izan eta beste guztiek, aldiz, bikoitia.

Euler-ek, horrela arrazoitu zuen: ibiltariak ibilaldian zehar lur zati batean zubi batetik sartu behar zuen eta beste batetik irten, beraz lur-zati horietako bakoitzak zuen zubi-kopuruak bikoitia behar zuen izan. Gainera, ibiltariak ibilaldiaren hasieran lur-zati bat uzten bazuen, aski zuen lur-zati horrek zubi bakarra izatea eta bukaeran beste hainbeste azkeneko lur-zatira iristeko. Irteerako eta helmugako puntuek, hortaz, izan lezakete zubi-kopuru bakoitia, baina irteera eta helmuga lur-zati berekoak izan behar balute, lur-zati horrek eta beste guztiek zubi-kopuru bikoitia behar lukete. Königsberg-eko zubiek baldintza hauek betetzen ez zituztenez, ibilaldia ezinezkoa zen.

Egoerari dagokion diagrama marrazten badugu, lur-zati bakoitza puntu baten bidez eta zubiak zuzenkien edo arkuen bidez adieraziz, honako irudi hau lortuko dugu:

Orain arazoa da puntu batetik irten eta diagramaren gainetik arkatz batez igarotzea, arkatza paperetik altxa gabe, zuzenki edo arku bakoitzaren gainetik behin eta behin bakarrik igaroz. Puntu bakoitzaren lotura-kopurua, hau da, bakoitzetik irteten den lerro-kopurua bakoitia edo bikoitia den ikus dezakegu. A-rena, adibidez, bakoitia da, bertatik 5 lerro irteten direlako. Beste guztiena ere bakoitia da. Bi puntu baino gehiago direnez lotura-kopuru bikoitia dutenak ezinezkoa da hasieran jarritako baldintzak betetzea. Zubiak eta lur-zatiak alde batera utzita, aipatu dugun lege hau edozein grafori aplika diezaiokegu.

Bola iletsuaren teorema

Topologiak ebatzitako beste arazo bitxi bat bola iletsuaren teoremarena da. Hitz arrunten bidez esanda teorema honek dioena hauxe da: bola bat baldin badugu gainazalaren puntu bakoitzean ile bat duena ezin da orraztu ile guztiak etzanda gelditzen direla; ile batek gutxienez tente geratu behar du.

Hizkera matematikoa erabiliz horrela esango genuke: gainazal esferiko baten gaineko bektore ukitzaileen eremu jarraiki orok puntu bat izan behar du non bektorea zero baita. Königsberg-eko zubien arazoaren kasuan bezala, topologiak orokortu egiten du planteamendua, esferak ez du zertan zehatza izan beharrik, edozein koskorrentzat balio du teoremak dioena, zeharkatzen duen zulorik ez duen bitartean.

Baliokidetasun topologikoa, homomorfismoa

Objektuen forma zehatzarekin lotuta ez dauden propietate hauek aztertzeko garaian garrantzia du baliokidetasun topologikoaren kontzeptuak. Formalki bi espazio topologikoki baliokideak dira beren artean homomorfismoa baldin badago. Era informalagoan esanda, bi espazio topologikoki baliokideak dira baldin eta bata deforma badaiteke bestearen forma eman arte atalik kendu eta erantsi gabe. Ikuspegi honetatik katilu bat eta erroskila bat baliokideak dira. Erroskila aski malgua izanez gero, beti legoke erdiko zuloa zeroraino murriztea eta material guztia hutsunea inguratzen duen pareta batean jartzea, katilua eratu arte.