Arrazoi trigonometrikoak

Arrazoi trigonometrikoak definitzeko, lauki zuzeneko triangelu baten barneko zuzena ez den angelutik abiatzen gara. Triangeluaren x abzisa eta y ordenatuak, balore positiboak ala negatiboak har ditzakete, triangelua X ardatzaren gainetik ala azpitik marrazten denaren arabera, ala Y ardatzaren eskuinera ala ezker aldera dagoenaren arabera.

Lauki zuzeneko triangeluaren elementuak.

a angeluarentzako definitu daitezkeen sei arrazoi trigonometrikoak hauek dira:

• Angeluaren sinua (sinboloa, sin), edo angeluaren aurkako kateto eta hipotenusaren arteko kozientea. -1 eta +1 en arteko baloreak har ditzake; bere alderantzizkoa kosekantea (kosek) da.
• Kosinua (kos), ala aldameneko kateto eta hipotenusaren arteko kozientea. Angelu baten kosinua -1 eta +1en artean aurkitzen da eta bere alderantzizkoa sekantea da (sek).
• Tangentea (tg), ala aurkako kateto eta aldamenekoaren arteko kozientea. Bere balorea ez dago akotatua, eta -¥ eta +¥ artean dabil; bere alderantzizkoa kotangentea (kotg) da.

  sen a = y/r; cos a = x/r; tg a = y/x.

Arrazoi trigonometrikoen arteko erlazioa

Arrazoi trigonometrikoen arrazoiei buruzko definizioei dagokienez, bere arteko ondorengo harremanak ezartzea zilegi da:

• Angeluaren tangentea, sinua eta kosinuaren arteko kozientea bezala kalkulatzen da.
• Angeluaren sinu eta kosinuaren karratuen batura, beti 1 da.

  sen² a + cos² a = 1

• Alderantzizko arrazoi trigonometrikoen artean, ondorengo erlazioak definitu daitezke:

  1 + cotg² a = cosec² a, tg² a + 1 = sec² a

Ezarritako erlazioek, angelu baten arrazoi trigonometrikoak eta bere kokapena koadrante zehatz batean ezagutu ondoren, gainerakoak ezagutzea zilegi egiten dute.

Angeluen batura eta diferentziak

a eta bbi angeluen arrazoi trigonometrikoak ezagutzen badira, (a + b) batura eta (a - b) diferentzia angeluenak zehaztea zilegi da. Horrela:

sen (a ± b) = sen a × cos b ± sen b × cos a cos (a ± b) = cos a × cos b sen a × sen b

Angelu bikoitza eta angelu ertainaren arrazoia ere ondoriozta daitezke:

Beste harreman geometriko interesgarriak, angelu ezberdinen arrazoi trigonometrikoen batura eta kenketa dira:

Sinua eta kosinuaren teoremak

a, b, c alboetako eta A, B, C barne angeluetako edozein triangelu badaukagu, ondorengoa egin beharko litzateke:

a² = b² + c² - 2 b × c × cos A.

Espresio hau, kosinuaren teorema bezala ezagutzen da eta triangeluaren hirugarren alboaren balorea kalkulatzeko balio du, beste biak eta aurkako angeluarena ezagutzen direnean.

Bestalde, sinuaren teoremak edozein triangeluan albo bakoitzeko balorea eta aurkako angeluaren sinuaren arteko proportzioa etengabekoa dela. Hau da: