Logaritmoak

Informazio gehiago

Logaritmoak

John Neper matematiko eskoziarrak, XVII. mendearen hasieran, astronomian arazo trigonometrikoak ebazteko egin behar ziren kalkulu konplexuak arintzeko modu bat aurkitu nahi zuen, eta helburu horrekin asmatu zituen logaritmoak. Ideia hau, ordea, ez zen erabilpen praktikoaren eremuan soilik geratu eta matematika modernoaren oinarri sendoa bihurtu zen.

Zenbaki baten logaritmoa

x zenbaki positibo baten logaritmoa a oinarrian (a balio positiboa eta 1 ez denean) zenbaki hori lortzeko oinarria jaso behar den berretzailea izendatzen da. Logaritmo a oinarrian loga sinboloaren bidez adieraziko dugu, beraz, horrela idatziko da:

log_a x = b Û x = a^b.

10 oinarria duten logaritmoak, askotan erabiltzen direnak, hamartarrak deitzen dira; e oinarria daukatenak naturalak edo nepertarrak deitzen dira, eta zientzian erabilpen ezberdinetarako balio dute.

Logaritmoen propietateak

Berreturen propietateetatik, logaritmoek edozein oinarritan daukaten propietate interesgarriak ateratzen dira. Propietate hauek ondorengo taulan daude laburtuta.


Propietatea	Adierazpen sinbolikoa
Oinarriaren logaritmoa beti izaten da berdin 1	log_a a = 1
1en logaritmoa edozein oinarritan berdin 0 da	log_a 1 = 0
Biderkadura baten logaritmoa, biderkagaien logaritmoen batura da	log_a (x × y) = log_a x + log_a y
Zatidura baten logaritmoa, zatigaien logaritmoen kendura da	log_a (x/y) = log_a x - log_a y
Berretura baten logaritmoa, oinarriaren eta berretzailearen arteko biderkadura da (hemen sartzen da errodura baten logaritmoa, hau da, berretzaile zatikiarra duen berretura)	log_a (x)^p = p × log_a x

Oinarri aldaketa logaritmoen artean

Zenbaki berak logaritmo desberdinak ditu aukeratutako oinarriaren arabera. Hori bai, nahikoa da zenbaki baten logaritmoa oinarri jakin batean ezagutzea, bere balioa jakiteko beste edozein oinarritan. Hau dena, oinarri aldaketa propietate honi esker:

Logaritmo hamartarrak

10 oinarriko logaritmoak, logaritmo hamartarrak deitzen dira. Logaritmo hauek normalean log sinboloa dute, oinarria adierazi gabe.

Logaritmo hamartarraren balioan bi zati bereiz daitezke, osagarriak beren artean:

Bereizgarria, kantitate horren magnitudearen ordena adierazten duena eta balio osoak dituena.
Mantisa, edo logaritmoaren bazterreko zatia, bere osagai hamartarra adierazten duena.

Adibidez, 100 zenbakiaren logaritmoa 2 da, beraz, bereizgarria dauka soilik (berdin 2) eta mantisa nulua da. 2 zenbakiaren logaritmoa, berriz, 0.301030 da, 0 bereizgarria eta 301030 mantisa daukana.

1 baino handiagoak edo berdinak eta 10 baino txikiagoak diren zenbakien logaritmoak 0 bereizgarria dute.
10 baino handiagoak edo berdinak eta 100 baino txikiagoak diren zenbakien logaritmoak 1 bereizgarria dute.
100 baino handiagoak edo berdinak eta 1000 baino txikigoak diren zenbakien logaritmoak 2 bereizgarria dute, eta horrela hurrenez hurren.
1 baino txikiagoak diren zenbakien logaritmoak, berriz, bereizgarri negatiboa dute.

Bestalde, 10ren berreturak dituzten zenbaki desberdinen mantisa, berdina izango da. Adibidez:

mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) =?= mantisa (log 0,2) = = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) = ?

Logaritmo nepertarrak

Logaritmo nepertarrek edo arruntek e= 2.7182818285... zenbakia dute oinarrian. Logaritmo hauek ln edo L sinboloa dute (adibidez, ln2 edo L2).

Itxuraz hain arbitrarioa den oinarria aukeratzea e^x (35.gaia ikusi) funtzio esponentzialaren propietate bereziei erantzuten dio. Izan ere, logaritmo nepertarrak (John Neper, bere asmatzailearen izena daramatenak) zientzia, teknika eta gizartearen alorretan asko erabiltzen dira.

Gaur egun, logaritmo nepertarren balioak kalkulatzeko kalkulagailuak erabiltzen dira. Lehen, ordea, hurrengo pausuak jarraitu behar ziren:

Zenbakiaren logaritmo hamartarra kalkulatu, logaritmoen taulak lagunduta.
Logaritmo nepertarra kalkulatu oinarri aldaketa baten bidez, log e= 0.434294 dela jakinda. Izan ere:

Bidali

Zuzendu

Eskubideak

Orria posta elektronikoz bidali

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

Facebook

Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.
Eskup

Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

Twitter

Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.
Tuenti

Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

Google Buzz

Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.
Meneame

Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

Derechos de reproducción de la obra

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailarenak dira hiru.eus webgunearen eta bertan agertzen diren elementu guztien jabetza intelektualaren eskubideak.

Halere, baimenduta dago hezkuntzaren esparruan hiru.eus-eko edukiak erabiltzea, betiere webguneari aipamena egiten bazaio eta Creative Commons CC-BY-NC-SA lizentziaren baldintzapean.
Informazio gehiagorako: pdf dokumentua jaitsi (943,2k).

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak bere buruari aitortzen dio, edozein unetan eta aurretiaz ohartarazi gabe, bere webguneko informazioa edota haren konfigurazioa edo itxura aldatzeko eta eguneratzeko ahalmena.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bermatzen ez dela akatsik egongo webguneko sarbidean, ezta han jasotako edukietan ere. Era berean, ez du ziurtatzen eduki hori behar bezala eguneratuta egongo denik. Dena den, beharrezko ahalegin guztia egingo du akats horiek saihesteko, eta, hala behar izanez gero, ahalik eta azkarren konpontzeko edo eguneratzeko.

Webgunera sartzea eta bertan jasotako informazioaz egiten den erabilera soilik erabiltzailearen erantzukizuna dira. Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du inolako erantzukizunik izango webgunera sartzeak edo hango informazioa erabiltzeak sor litzakeen ondorio edo kalteen aurrean, bere eskumenen erabilera zehatzetan jarraitu behar dituen legezko xedapenak ezartzearen ondorio diren egintza guztietan izan ezik.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bere gain hartzen webgunean aipatzen diren kanpoko beste esteka batzuetara konektatzetik edo haietan jasotako edukietatik erator daitekeen inolako erantzukizunik.

Webgune honetan jasotako informazioa baimenik gabe edo oker erabiltzeak eta Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren jabego intelektual eta industrialaren eskubideetan sorturiko kalte eta galerek legez dagozkion egintzak erabiltzeko bidea emango diote aipatutako Administrazioari, eta, hala badagokio, erabilera horren ondorio diren erantzukizunak hartuko ditu.

Pribatutasuna

Interesatuak emandako datuak dagokion prozedura edo egintzan aurreikusitako helburuetarako baino ez dira erabiliko.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saileko Etengabeko Ikaskuntzako Zuzendaritza da datu horiek biltzen dituen fitxategiaren erantzulea, eta haren aurrean egikaritu ahal izango dira sartzeko, zuzentzeko, deuseztatzeko eta aurka egiteko eskubideak. Horretarako, eskura duzu info@hiru.eus helbide elektronikoa.