Aldagai bateko polinomioen elementuak

Polinomio deitzen zaio monomio kopuru finitu baten batura ordenatu legez definitutako adierazpen aljebraiko orori, monomioa koefiziente baten eta berretzaile batera jasotako aldagaiaren arteko biderkadura izanik. Polinomioaren batugai bakoitzari gai deitzen zaio. Aldagai bakarreko polinomio baten adierazpen orokorra honako hau da:

P (x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +?+ a₂ x² + a₁ x + a₀

• Koefizienteak, edo ai balio konstanteak, i = 0, 1, 2, ..., n-rekin. Maila handienera jasotako aldagaia biderkatzen duenari koefiziente nagusi deitzen zaio (a_n -ren bidez adierazia), aldagairik ez duena gai askea (a₀ ) deitzen den bitartean.
• x aldagaia.
• Aldagaiaren berretzaileak.

Gai bakarra duten polinomioak monomioak deitzen dira; bi dituztenak, binomioak; hiru dituztenak, trinomioak; etabar. Polinomio baten maila legez ezagutzen da aldagaiaren berretzailerik handiena.

Polinomioen batuketa eta kenketa

Bi monomio antzekoak direla esaten da aldagai eta maila bera dutenean. Antzeko polinomioen batuketa edo kenketak antzeko monomio berri bat sortzen du, honen koefizientea eta jatorrizko monomioen koefizienteen batura edo kendura berdinak izanik.

Analogikoki, aldagai bereko polinomioen batuketa edo kenketa egiteko honako prozedura hau erabiltzen da:

• Handitik txikira ordenatzen dira polinomio bien gaiak, agertzen ez diren gaientzako hutsuneak utziz.
• Antzeko monomioen batuketa edo kenketa egiten da.

Polinomioen batuketak barne-propietatea (polinomio berri bat sortzen du), elkartze-propietatea, propietate trukakorra eta elementu neutro (polinomio nulua) eta aurkako (aurkako polinomioa, emandako polinomioaren koefiziente guztiak aldatuz lortzen dena) elementuaren esistentziaren propietatea betetzen ditu.

Polinomioen biderkadura

Biderkadura eragiketa aldagai bereko bi monomioen artean ere defini daiteke, emaitza monomio berri bat izango delarik eta honen koefizientea koefizienteen arteko biderkadura izango da eta bere maila jatorrizko monomioen mailen batura. Horrela M₁ (x) = a₁ xⁿ eta M₂ (x) = a₂ x^m badira M₁ (x) × M₂ (x) = (a₁ × a₂) × x^n+m.

Era honetan, bi polinomioen arteko biderkadura lehenengo polinomioaren termino bakoitza (monomioak) bider bigarrenaren termino guztiak legez defini daiteke, ondoren ondoriozko gaiak batuz eta elkartuz.

Polinomioen arteko biderkadurak barne-propietatea (polinomio berri bat sortzen du), elkartze-propietatea, propietate trukakorra, elementu neutroaren esistentzia eta banatze-propietatea egiaztatzen ditu batuketari dagokionez, hau da:

Polinomioen koziente

Antzeko bi monomioen arteko zatiketa edo koziente monomio berri bat da, eta honen koefizientea koefizienteen arteko zatiketa da eta bere maila jatorrizko bi monomioen mailen arteko kenketa izango da. Zatidura hau barneko eragiketa bat izateko (hau da, emaitza beste monomio bat izan dadin), zatikizunaren mailak zatitzailearena bezalakoa edo handiagoa izan behar du.

P (x) eta Q (x) polinomio biren arteko koziente, honako hau egiaztatzen duen beste C (x) polinomio bat da:

P(x) = Q(x) × C(x) + R(x).

Ruffiniren erregela

Badago polinomioak zatitzeko modu labur eta erraz bat, XVIII. mendean Paolo Ruffini matematikariak asmatutakoa. Prozedura hau, Ruffiniren erregela izenarekin ezagutzen dena, honetan oinarritzen da: n mailako P (x) polinomioa (x - m) motako binomio batekin zatitzean, n - 1 mailako P' (x) polinomio berri bat lortzen da.

Erregela honen arabera, P (x) = 6x³ - 3x + 5 polinomioa x - 2 binomioarekin zatitzeko, honako era honetan egin beharko genuke:

• 1. Ilara batean ordenan jarritako zatikizun polinomioaren koefizienteak jartzen dira, gairen bat agertzen ez denean 0 idatziko dugularik.
  

• 2. Alde batean binomioaren gai askearen balioa jartzen da, zeinuz aldatuz.
  

• 3. Zuzenean jaisten da maila handiagoko koefizientea.
  

• 4. Binomioaren gai askea polinomioaren lehenengo koefizientearekin biderkatzen da eta emaitza bigarrenari gehitzen zaio.
  

• 5. Eragiketa hau gainerako koefiziente guztiekin errepikatzen da.
• 6. Lortzen dugun azkeneko balioa hondar polinomioa da.
  

• 7. Lortutako beste balioak koziente polinomioaren koefizienteak dira.