Funtzio baten azterlana

Funtzio baten portaera aztertzeko, hurrengo puntuak dituen prozedura sistematikoa aplikatzen da:

• Definizio-eremua zehaztea (45. gaia ikusi).
• Simetriak eta periodikotasunak bilatzea (45. gaia ikusi).
• Ardatzekin dituen ebakidura-puntuak zehaztea (45. gaia ikusi).
• Asintoten kalkulua.
• Hazteko eta gutxitzeko joerak, maximo eta minimo erlatiboak zehaztuta (45. gaia ikusi).
• Ahurtasuna, ganbiltasuna eta inflexio-puntuak (45. gaia ikusi).
• Funtzioak planoaren eskualde ezberdinetan duen portaeraren analisia.
• Irudikapen grafikoa.

Funtzio baten asintotak

Definizio-eremua, simetriak eta periodikotasunak, eta ardatzekin dituen ebakidura-puntuak zehaztu ondoren, funtzioa aztertzen jarraitzeko asintotak bilatu behar dira. Funtzioak zuzen horietara hurbiltzen da infinituan.

• Funtzio baten asintota horizontala y = b ekuazioko zuzena izango da, x, +¥ edo -¥ -ra hurbiltzen denean, funtzioak alboko limite bat, gutxienez, baldin badu, limite horren balioa b delarik.
• Funtzio baten asintota bertikala x = a ekuazioko zuzena izango da, aipatutako puntuan alboko limiteetako bat gutxienez dagoenean, limite horren balioa +¥ edo -¥ delarik.
• Funtzio baten asintota laprana y = mx + n ekuazioko zuzena izateko (m ¹ 0 izanik), hurrengo bi limiteetako bat existitzea eta hau nulua izatea beharrezkoa da:

m maldaren balioak eta n jatorriko ordenatua honela zehazten dira:

Joerak, ahurtasuna eta puntu singularrak

Asintoten balioa zehaztu ondoren, funtzioak hazteko eta gutxitzeko dituen joerak ezartzeari ekingo zaio. Horretarako, honako hauek zehazten dira:

• Maximo erlatiboak (45. gaia ikusi): puntu horietan funtzioaren lehenengo deribatua baliogabetu egiten da eta bigarren deribatua hertsiki negatiboa da.
• Minimo erlatiboak (45. gaia ikusi): puntu horietan lehenengo deribatua baliogabetu egiten da eta bigarren deribatua hertsiki positiboa da.

Bigarren deribatua ere nulua bada, funtzioaren hirugarren deribatua puntuan aztertuko da. Deribatu hori zero ez denean, inflexio-puntua izango da (45. gaia ikusi); nulua bada, berriz, ordena goreneko deribatuak aztertu beharko dira.

Maximo eta minimoen analisiaren bidez funtzioaren joera gorakorra edo beherakorra zehazten da (45. gaia ikusi). Inflexio-puntuak funtzioa ahurra edo ganbila den jakiteko erabiltzen dira:

• f (x) funtzio goranzko ahurra (ganbila) izango da tarte batean, bere f ' (x) deribatua monotono gorakorra bada eta bere f " (x) bigarren deribatua aipatutako tartean positiboa bada.
• Funtzioa beheranzko ahurra (ahurra) izango da, f ' (x) monotono beherakorra bada eta f"(x) tartean negatiboa bada.

Planoaren eskualdeak

Funtzio baten definizio-eremua, simetriak, ardatzekiko ebakidurak, asintotak, puntu kritikoak, haztea eta ahurtasuna jakin ondoren, planoa funtzioaren portaera ulertzen lagunduko duten eskualdetan bananduko da, funtzioa ikusteko moduan irudikatzeko asmoz.

Funtzio baten eskualdeen adibidea, bere portaeraren analisi grafikoa egiteko.

Funtzio bat aztertuta lortutako informazioak bete egin daitezke, funtzioaren adar ezberdinen kokapena doi-doi ezartzen laguntzen duen balio taula txiki bati esker. Horrela, funtzio horrek planoan izango duen bilakaera ondo zehaztuta geratuko da eta azterlana guztiz amaituta egongo da.