Integral mugatuko kontzeptua

Integral mugatua kurbek eta zuzenek mugatutako azaleraren balioa zehazteko erabiltzen den kontzeptua da. [a, b] tartea egonda (tarte horren x puntu bakoitzerako, 0 baino handiagoa edo berdina den f (x) funtzio bat zehazten da [a, b] tartean), a eta b puntuen arteko funtzioaren integral mugatua izango da funtzioak, OX ardatz horizontalak eta x = a eta x = b ekuazioen zuzen bertikalek mugatutako planoaren neurriaren azalera.

[a, b] tartearen muturren arteko funtzioaren integral mugatua honela adierazten da:

Integral mugatuaren propietateak

Integral mugatuak honako propietate hauek ditu:

• Puntu bakarreko ( [a, a] ) tarte batean hedatutako edozein integral zero da.
• f (x) funtzioa zero baino handiagoa denean, bere integrala positiboa da; funtzioa zero baino txikiagoa bada, bere integrala negatiboa izango da.
• Funtzioen batuketa baten integralaren emaitza eta funtzioen integralak banan-banan batzetik ondorioztatzen dena bera dira.
• Konstante bat bider funtzio bat eragiketatik ondorioztatutako integralaren emaitza eta konstantea bider funtzioaren integrala egitearena bera dira (hau da, integralaren konstantea «atera» daiteke).
• Integral baten limiteak permutatzean, integrala zeinuz aldatuko da.
• a < b < c, motako hiru puntu egonda, orduan hauxe betetzen da (zatikako integrazioa):

   

  

   

• f (x) £ g (x) motako f (x) eta g (x) bi funtzioak aplikatutako [a,b] tartearen edozein x puntutarako, honako hau egiaztatzen da:

   

  

   

Funtzio integralaren edo azalera funtzioaren interpretazio geometrikoa.

Funtzio integrala

Jarraiko funtzioa [a, b] tartean dagoela eta x Î [a, b] balioa kontuan hartuta, hurrengo motako funtzio matematikoa zehaz daiteke:

Okerrik ez sortzeko aldagai askearen notazioa aldatu da x-tik t-ra. F(x)-z sinbolizatu ohi den funtzio horrek funtzio integral edo azalera funtzioa izena hartzen du, f [a, b] tartean zero baino handiagoa edo berdina denean, F (x)-k azalera ematen digulako.

Funtzio integralaren edo azalera funtzioaren interpretazio geometrikoa.

Kalkulu integralaren oinarrizko teorema

Deribatu eta integral mugatuaren arteko harremana kalkulu integralaren oinarrizko teorema izenekoaren bidez behin betiko ezarrita geratu da. Teorema horrek honakoa esaten du: f (x) funtzioa egonda, bere F (x) funtzio integral elkartuak hurrengoa beteko du derrigorrean:

Kalkulu integralaren oinarrizko teorematik hasita, [a, b] tartean f (x) funtzio baten integral mugatua kalkulatzeko metodo bat zehaztu daiteke, Barrowren araua izenekoa, hain zuzen ere:

• Hasteko, F' (x) = f (x) egiaztatzen duen F (x) funtzio bat bilatuko da.
• Funtzio horren balioa kalkulatuko da tartearen muturretan: F (a) eta F (b).
• Bi puntu horien arteko integral mugatuaren balioa honako honek zehaztuta egongo da: