Proportzioak

Proportzio bat bi zatiduraren berdintza da (a/b = c/d). Bi zatidurak berdinak direnean, muturren (a eta d) biderkadura eta erdikoen (b eta c) biderkadura berdinak dira. Hori dela eta, proportzioan honako hau betetzen da: a · d = b · c.

Bi magnitude proportzionalak izango dira beren biderkadura aldaketarik gabe mantentzen denean, hau da, bataren kopurua handitzen bada, bestea ere neurri berean handitzen denean. Adibidez, auto batek zenbat eta kilometro gehiago egin, orduan eta erregai gehiago erreko du. Hori dela medio, bi magnitudeak proportzionalak dela esaten da (zatidura konstantea).

Magnitude proportzionalen balore ezezagunak kalkulatzeko hiruko erregela erabiltzen dugu. Horretarako ariketak oso errazak dira: biderketa eta zatiketa. Garrantzitsuena hiruko erregela erabiltzen jakitea da.

Ondorengo irudian zuhaitzak, tamainari dagokionean, proportzionalak direla ikusiko duzu, izan ere txikienak handienen erdiak dira.

Laugarren gaiaren determinazioa

Proportzio bateko gai bat kalkulatzeko ariketa da, gainerako hirurak dakizkigunean.

Probleman ezagutzen dugun zatiari suposizioa esaten zaio, eta galdera kalkulatu beharrekoari.

Proportzio-erlazioa planteatu ahal izateko beharrezkoa da, batetik, a eta b magnitude berdin batean egotea, eta bestetik, c eta d beste batean egotea, baina lehenengoarekin kideko izanez.

Erlazio hori matematikoki horrela adierazten da:

a / b = c / d.

Zehaztu dezagun adibide baten bidez: 10 boligrafo dituen kaxa batek 3 euro balio ditu, eta jakin nahi dugu zein izango den 1.356 boligraforen zenbatekoa. Boligrafoak magnitude berekoak lirateke (a=10 boligrafo eta b=1.356 boligrafo), diruak, berriz, beste magnitude batekoak (c=3 euro eta d=x euro). Horrela, 10 boligrafoek hiru euro balio badute, 1.356 boligrafoen balioa x izango da (aurkitu beharreko ezezaguna). Horrela, eratzen den proportziozko erlazioa honako hau da: 10 / 1356 = 3 / x.

Hiruko erregela sinplea

Hiruko erregela sinplean bi magnitude baino ez daude.

Haien arteko erlazioa zuzenki proportzionala izan daiteke, hots, bataren kopurua handitzen denean, bestearena ere bai (lanean zenbat eta ordu gehiago eman, orduan eta diru gehiago irabaziko dugu); baita alderantziz proportzionala ere, bataren kopurua handitzen denean, bestearena murriztu egiten da (lanean zenbat eta ordu gehiago eman, orduan eta denbora libre gutxiago izango dugu).

Hiruko erregela planteatzeko modu bat, metodo tradizionala da. a ® b ematen baldin badigu, orduan c ® d emango digu.

Erlazioa zuzena bada, ebazpena ateratzeko gurutze bidez biderkatuko dugu, hau da:

a · d = c · b

Erlazioa alderantzizkoa bada, berriz, ebazpena lerroka biderkatuko dugu, hau da:

a · c = b · d

Adibidez, Jonek 60 zentimorekin 15 kromo erosi baditu, zenbat kostatuko zaio Miren 10 kromo erostea? 15 kromorengatik 60 zentimo ordaindu baditugu, 25 kromorengatik x zentimo ordainduko ditugu.

Orduan, eratzen den proportziozko erlazioa honako hau da:

Ebazpena ateratzeko gurutze bidez egingo dugu 15 · x = 25 · 60. Beraz, x = 25 · 60 / 15 = 100 zentimo = euro 1. Hau da, 25 kromo euro bat balio dute.

Kalkulurako beste metodo batzuk

Proportzioen bidezko hiruko erregela

Hiruko erregla ebazteko beste era bat, proportzioen bidez egiten da. Proportzio bat bi zatiduraren berdintza da (a/b = c/d). Bi zatidurak berdinak direnean, muturren (a eta d) biderkadura eta erdikoen (b eta c) biderkadura berdinak dira. Hori dela eta, proportzioan honako hau betetzen da: a · d = b · c

Hiruko erregelaren gure laugarren gaiari, edo x inkognitari, proportzioak aplikatuz gero, horrela litzateke; a / b = c / x

Zatidura hori gurutze bidez biderkatzean askatzen da, beraz,

a · x = c · b

Kromoen inguruan aipatu dugun aurreko pantailan, honako kalkulu hauek ere egin ditzakegu.

(15 kromoak / 25 kromoak) = (60 zentimoak / x zentimoak)

beraz 15 · x = 60 · 25, orduan x = 60 · 25 / 15 = 100 zentimo = euro 1.

Hiruko erregela unitatera murriztuz

Metodo honen bitartez, gaietako bat (a, b, c edo d) 1 izatea bilatzen dugu, horrela kalkulua sinplifikatu ahal izateko.

Aurreko adibidera berriro itzuliz, Jonek 15 kromoren truke 60 zentimo ordaindu bazituen, kromo batengatik zenbat ordaindu zuen? 60 / 15 = 4 zentimo. 25 kromo erostea zenbat balio izango zion jakin nahi genuenez, 25 bider 4 egin beharko dugu: 25 · 4 = 100 zentimo, edota euro bat. Adibide honetan, edozein kromo kopuruaren salneurria jakiteko, kromo baten balioa kalkulatu dugu, bakoitzeko salneurria kromo kopuruaren zenbakiaz biderkatuz.

Hiruko erregela konposatua

Bi magnitude-mota desberdin baino gehiagorekin topo egiten dugunean, hiruko erregela konposatuaren bidez erabaki dezakegun problema baten aurrean gaude.

Hiruko erregelarekin gertatu ohi denez, soluzioaren aurkikuntzarako praktika oso erraza da: Hiruko erregela bakunetan banatzen dugu. Kontuan hartu behar da zuzenki edo alderantziz proportzionala izan daitezkeela. Adibidez: Koldok auzoko arotzari 3 mahai txiki 285 euroren truke erosi dizkio. Arotzak horietako mahai bat egiteko 3 ordu ematen baditu, zenbat ordu emango ditu Koldoren 950 euroko enkarguari erantzungo dion mahai-kopurua egiteko?

Hori jakiteko, mahai bakoitzak zenbat euro balio duen kalkulatuko dugu (285 / 3 = 95 euro). Ondoren, arotzak 950 euroren truke zenbat mahai emango digun aurkituko dugu (950 / 95= 10 mahai). Eta azkenik, Koldok ordainduko dituen 950 euro horiengatik arotzak egin beharko dituen mahaiak egiten zenbat ordu emango dituen kalkulatuko dugu (10 mahai · bakoitzeko ematen dituen 3 orduak). Beraz, Koldoren 950 eurok jasotzeko, arotzak 30 orduz lan egin behar izan du.

Metodo tradizionala erabiltzen denean, arinagoa da hiruko erregela guztiak aldi berean planteatzea.

Hiruko erregela konposatu zuzena

Hiruko erregela konposatuan, modu tradizionala sinplifikatu egin daiteke, baldin eta, hiruko erregela bakunetan zatikatu ordez, metodo zuzena erabiltzen badugu, planteamendua berehalakoa delako. Gogoratu, zuzenki proportzionalak badira gurutze bidez biderkatu behar direla eta, lerroka, alderantzizko proportzionalak badira.

Eman dezagun adibide bat: autopistako 0,5 km eraiki ahal izateko, 45 langileek 10 egun eman dituzte, egun bakoitzeko 8 orduz lanean aritu eta gero. Egun bakoitzeko 9 orduz lanean arituko diren 60 langileek zenbat egun beharko dituzte autopistako 2,7 km gehiago eraikitzeko?

Hemen soluzioa:

Ariketaren magnitudeen artean ematen diren erlazioak honako hauek dira: zenbat eta langile gehiago, orduan eta egun gutxiago (alderantzizkoa); zenbat eta ordu gehiago, orduan eta egun gutxiago (alderantzizkoa) eta zenbat eta kilometro gehiago, orduan eta egun gehiago (zuzena). Beraz: 2,7 · 45 · 10 · 8 = 0,5 · 60 · x · 9

x = (2,7 · 45 · 8 · 10) / (0,5 · 60 · 9) = 9.720 / 270= 36 egun.

Hiruko erregela problemen soluzioan

Hiruko erregelaren bidez konturatu gabe egunero egiten ditugun ariketa ugari daude.

Hiruko erregelak edo ehunekoak oso arazo desberdinetan erabiltzen ditugu:

• Salgaien salneurrietan igoerak edo beherapenak daudenean.
• Produktuen BEZ-aren kalkulua.
• Interes bakunaren eta konposatuaren kalkulua.
• Kontsumorako prezioen indizearen kalkulua.