Ekuazio koadratikoak

Ezezagun bateko ekuazio koadratikoa edo bigarren mailakoa ondorengo egitura murriztu orokorra duen orori deitzen zaio: ax² + bx + c = 0, a ¹ 0 izanik. A koefizienteari koadratikoa edo nagusia deritzo, b koefiziente lineala da eta c elementu askea.

• Ekuazioaren koefiziente guztiak zero izan ezik beste edozein zenbaki badira, ekuazio hori osoa dela esaten da.
• Koefiziente lineala edo atal konstantea baliogabeak badira, ekuazioa osagabea da.

Ekuazio koadratikoen ebazpena eta eztabaida

Ezezagun bateko bigarren mailako ekuazioaren ebazpenaren planteamendua modu batean baino gehiagotan egin daiteke:

• Ekuazioa osagabea bada, ez koefiziente linealik ez atal askerik ez duena, (ax² = 0), ebazpena x = 0 ((bikoitza) da.
• Osagabea denean eta koefiziente linealik gabe (ax² + c = 0), ebazpenak dira.
• Osagabea denean, termino askerik gabe (ax² + bx = 0), bi ebazpen ditu: x₁ = 0, eta x₂ = -b/a.
• Ekuazio oso batek bi ebazpen ditu, formula honen bitartez emanak:
  

b² - 4ac adierazpena ekuazioaren diskriminatzaile deitzen da eta aztertutakoan ondorioztatzen da zero baino handiagoa bada, ekuazioak bi ebazpen erreal eta desberdin dituela; zeroren berdina bada, ebazpen bikoitz bakarra dago, x = -b/2a-k emana, eta zero baino txikiagoa bada, emaitzak zenbaki konplexuen (ez dira errealak) taldekoa da.

Ebazpenen eta koefizienteen arteko erlazioa

Emaitzen eta ezezagun bateko bigarren mailako ekuazioaren koefizienteen azterketa egindakoan ondorio garrantzitsu batzuk ateratzen dira:

• Ekuazioaren ebazpenen batuketa eta koefiziente lineala ikurrez aldatuta eta koefiziente nagusiarekin zatituta ateratzen den ebazpena berdinak dira: x₁ + x₂ = -b/a.
• Ebazpenen emaitza atal askea koefiziente nagusiarekin zatituta ateratzen den emaitza da: x₁ × x₂ = c/a.
• Ekuazioaren emaitzen batuketak s = x₁ + x₂ eta biderketak p = x₁ × x₂ baldin badakizkigu, honako hau daukagu: x² - sx + p = 0.
• Ekuazioaren emaitzen d = x₁ - x₂ kenketa eta p = x₁ × x₂ biderketa ezagutuz, honako hau ondorioztatzen da:
• x₁ eta x₂ emaitzen balioa jakinda, ekuazioa binomio biderketa moduan adieraz daiteke: (x - x₁) (x - x₂) = 0 (ekuazio faktoriala)

Ekuazio bikarratuak

Bigarren mailako ekuazioen ebazpen teknikak ekuazio bikarratuei ere aplika dakizkioke. Ekuazio hauek honela azaltzen dira gehienetan:

ax⁴ + bx² + c = 0.

Laugarren mailakoak direnez, ekuazio bikarratuek lau ebazpen edo emaitza dituzte. Metodo erraz baten bitartez ebazten dira:

• y = x² ordezkatu egiten da, eta ekuazioa honela geratzen da: ay² + by + c = 0
• Bigarren mailako ekuazio honen y₁ eta y₂ ebazpenak lortzen dira.
• x -en lau ebazpenak kalkulatzen dira honela

Erdibideko bigarren mailako ekuazioaren ebazpenean y₁ eta y₂ -rentzat lortu diren balioen arabera, kasu desberdin batzuk ager daitezke:

• Baldin y₁ > 0 eta y₂ > 0 badira, ekuazio bikarratuak lau ebazpen erreal izango ditu.
• Baldin y₁ > 0 eta y₂ < 0, edo y₁ < 0 eta y₂ > 0 badira, ekuazio bikarratuak bi ebazpen erreal eta bi oso ditu.
• Baldin y₁ < 0 eta y₂ < 0, badira, ekuazio bikarratuak ez dauka erro errealik ( lau erroak zenbaki konplexuen multzokoak dira).

Ekuazio irrazionalak

Ekuazio koadratikoen antzekoak dira ekuazio irrazionalak izenekoak. Hauetan ezezaguna atalen batean azaltzen da, erro ikurraren Ö barnean. Ekuazio irrazionalaren forma honelakoa da:

Ekuazio hauek ebazteko ekuazioaren bi atalak jaso egiten dira, errotzailearen indizeak adierazten duen berredurara.

Ekuazio mota honen adibide sinple bat lortzen da ekuazioaren atal batean edo bietan erro karratuak bakarrik daudenean. Honela ebazten dira:

• Erro karratua duen atala zatietako batean bakartu.
• Erroa kentzeko bi zatiak karratura jaso. Ateratzen den ekuazioa sinplifikatu ondoren, ezezagun bat duen bigarren mailako ekuazio bat lortzen da.
• Bigarren mailako ekuazio hau ebatzi egiten da, betiko moduan.
• Ekuazioa bira jaso denez, ebazpen «faltsua» lortu da. Bigarren mailako ekuaziotik lortu diren bi erroak frogatu egin behar dira jatorrizko ekuazio irrazionalean; orduan haietako bakar batek betetzen duela ekuazioaren berdintza ikusiko da. Hura izango da, beraz, ebazpen bakarra.