Mugimendu orbitalak eremu zentral batean

Ibilbide zirkularrak egiten dituen eremu zentral baten pean dauden gorputzen mugimendua ikastea arazo klasikoa da fisikan. Mugimendu mota horretan, elkarrekintza kontrajarri bat dago: eremu zentralak mugimendu orbitalean dagoen gorputzaren gainean eragiten duen erakarpenezko barrurako indar zentripetu bat.

Eremu zentral batean gertatutako mugimendu orbitaleko kasu arrunt bat Lurra Eguzkiaren inguruko mugimendua da (edo Lurraren inguruko sateliteen (Ilargiaren edo satelite artifizialen) mugimendua). Deskribatutako orbitak eliptikoak diren arren, horien eszentrikotasuna oso baxua da, eta zirkulartzat har daitezke. Mugimendu horretan jarduten duen eremu zentrala grabitatorioa da; M eremua sortzen duen masa bada, eta R, eremu horren pean dagoen gorputzak orbitatzen duen distantzia (G grabitazio unibertsalaren konstantea dela kontuan hartuz), gorputz horren abiaduraren modulua honako hau da:

Kontserbazioaren legeak

Eremu grabitatorio zentral bat eta horren pean dagoen beste bat sortzen dituen gorputz batek osatutako multzoa sistema isolatutzat hartzen da. Horrela, kontserbaziorako oinarrizko bi printzipio betetzen ditu:

• Energia mekanikoarena: sistemaren energia zinetikoaren eta potentzialaren batuketa konstantea da edozein bi unetan. Enuntziatu horrek indar bizien teorema izena dauka, eta honela adierazten da matematikan:
  
• L momentu angeluarraren kontserbazioa, partikula baten r posizio-bektorearen eta mugimenduaren kantitatearen biderkadura bektoriala da.
  

Momentu angeluarra kontserba dadin, beharrezkoa da gorputzak deskribatutako orbita plano batean egotea.

Potentzial efektiboa

Eremu zentral baten barruko mugimendu orbital batean, abiadurako bi osagai daude:

• Erradio-abiadura, orbitako zentrora seinalatzen du, une orotan, eta gorputzaren posizioaren aldaketa mugatzen du, jatorria aintzat hartuta.
• Abiadura orbitala, desplazamenduaren ibilbiderantz seinalatuz eta aurrekoaren perpendikularra.

Sistemako energia mekaniko osoak, erradio-abiaduran (v_r) eta abiadura orbitalean (v_orb) adierazita, honako forma hau dauka:

Orduan, potentzial efektiboa deitutako magnitudea masa unitateko energia potentzial bezala defini daiteke, horren balorea honako hau da:

Orbita eliptikoak

Zeruko sistema baten energia mekaniko osoa zero baino txikiagoa bada, orbitan dagoen masa distantziako bi mugen artean dago eta egindako ibilbidea elipse bat da. Hori gertatzen da Eguzkiaren inguruan bira egiten duten planetekin, baita gorputz planetarioen inguruan (esate baterako, Ilargia) orbitatzen duten sateliteekin ere.

Orbita itxi baten (a) potentzial efektiboa, orbita eliptikoak (b) karakterizatzen dituena.

Orbita parabolikoak eta hiperbolikoak

Energia mekaniko osoa zero baino handiagoa denean, zeruko masaren mugimendua irekia da eta orbitaren zentrorako distantziak muga txikiago bat bakarrik dauka. Horrenbestez, gorputzak ibilbide hiperbolikoa egingo du hiperbolaren fokuarekin, eremuko zentroan (esate baterako, Eguzkia). Hori da Eguzki-sisteman kometa gehienek duten mugimendua. Azkenean, energia mekaniko osoa zero bada, deskribatutako mugimendua parabola bat da.