Unitate-matrizea eta alderantzizko matrizea

n x n (edo bakarrik n) ordenako A matrize karratua aintzat hartuta, n dimentsio berarekin, 1 balioa duen diagonal nagusian daudenak izan ezik elementu nuluek osatutakoak unitate-matrize I izena du. Hau da: A × I = I × A = A.

n ordenako A matrize horretarako, esaten da n ordenakoa ere den A^-1 alderantzizko matrizea ere badagoela, bien biderkadura unitate- matrizea denean: A × A^-1 = A^-1 × A = I.

Alderantzizkoa duen matrizeak alderanzkarri edo erregularra izena du, baina alderantzizkorik ez duenean, matrize singularra izena hartzen du.

Emandako baten alderantzizko matrizea kalkulatzeko, A × X = I matrizeen biderkadurak planteatutako ekuazioen ebazpenari jo dakioke, Aren eta Iren koefizienteak ezagunak eta Xenak ezezagunei dagozkienak direnean. Bestalde, laburketa-metodoa edo gaussiarra izenekoa ere erabil daiteke, ondoko eskema honi jarraituz:

• i, j = 1, 2, ..., n denean, A = (a_ij), unitate-matrizea hartuta, horren matrize zabaldua (A | I) sortuko da lehenengo.
• Gero, oinarrizko eragiketak aplikatuko dira matrizearen errenkaden gainean, A unitate-matrizera txikitu arte. Bilakaera berberak egingo dira Ien. Sortutako matrize berria A-1 izango da.
• Matrize zabalduei aplika dakizkien oinarrizko eragiketak ondoko hauek dira:

• Errenkada bat zero ez den zenbaki batengatik biderkatzea.
• Errenkada bateko elementuak eta beste batekoen multiploa gehitzea.
• Errenkadak ordezkatzea.

Ekuazio linealen sistema baten matrizeko adierazpena

Edozein ekuazio linealen sistema matrizeen bidez idatzi ahal da, ondoko era honetan:

A koefizienteen matrizea, X ezezagunen matrizea eta B termino askeen matrizea direnean.

Horrela, esate baterako, ekuazio linealen sistema hau:

Sistema bat ebaztea alderantzizko matrizearen bidez

Matrizeen bidez ekuazio lineal sistemak ebazteko prozedura azkarra alderantzizko matrizearen metodoa da. Teknika hori ezkerretik ekuazio-sistemaren matrizeko adierazpenaren elementu biak eta koefizienteenaren alderantzizko matrizea (badago) biderkatzean datza. Honela:

Sistema bat ebaztea ezabaketa gaussiarraren bidez

Matrizeen bidez ekuazio linealen sistemak ebazteko prozedurarik erabiliena ezabaketa gaussiarraren metodoa da, ondoko urrats hauek dituena:

• Sistemaren matrize zabaldua osatuko da termino askeen matrizeko elementuak dituen beste zutabe bat koefizienteenari gehituz, eskuinetik.
• Oinarrizko eragiketak aplikatuko dira matrize zabaldu horren gainean, matrizearen diagonal nagusiaren azpitik termino guztiak nuluak izan arte.
• Orduan, arartegabeko ebazpeneko ekuazio-sistema bateragarria lortuko da.
• Metodo horri esker, sistemaren eztabaida azkarra egin daiteke:
• Matrize zabalduaren bilakaeratik sortutako matrizearen azken errenkadak 0x + 0y + cz = k (k ¹ 0 denean) motako ekuazioa sortzen badu, sistema bateragarri determinatua (emaitza bakarrekoa) izango da.
• Azken errenkada hori 0x + 0y + 0z = k motako ekuazio bati dagokionean, sistema bateraezina (emaitzarik gabekoa) izango da.
• Azken errenkada hori 0x + 0y + 0z = 0 motako ekuazioa bada, sistema bateragarri mugagabea (emaitza infinituekin) izango da.

Ekuazio linealen sistema bat ebaztearen adibidea, ezabaketa gaussiarraren metodoa erabiliz: