Hondarraren teorema eta faktorearen teorema

Polinomioen arteko zatidurarako Ruffiniren erregela aplikatuz (31. gaia ikusi), badakigu P (x) polinomio bat x - m binomio batekin zatitzean Q (x) polinomio berria lortzen dela, azken hau P (x) baino maila txikiagokoa izanik eta 1 baino txikiagoko maila duen hondarra duelarik, hau da, r zenbakizko kopurua bezalakoa. Beraz:

P (x) = Q (x) (x - m) + r

X m-rekin ordezkatuz, P (x) polinomioaren zenbakizko balioa P (m) = R izango da. Printzipio hau hondarraren teorema legez ezagutzen da, eta polinomio bat x - m binomio batekin zatitzean, hondarra polinomio horrek x = m-rako hartzen duen zenbakizko balioa bezalakoa izango dela baieztatzen du.

Hemendik ondorioztatzen da faktorearen teorema deiturikoa. Honen bidez baieztatzen da P (x) polinomio bat x - m binomio batekin zati daitekeela bakarrik x = m-rako polinomio horren zenbakizko balioa 0 baldin bada.

Hemendik ondorioztatzen da faktorearen teorema deiturikoa. Honen bidez baieztatzen da P (x) polinomio bat x - m binomio batekin zati daitekeela bakarrik x = m-rako polinomio horren zenbakizko balioa zero baldin bada.

P(x) polinomio baten erroa a zenbaki bat dela esaten da, baldin eta P(a) = 0.

Era honetan, a koefiziente osoak dituen P (x) polinomio baten erro osoa bada, a balio honek P(x)-en gai askearen zatitzailea izan behar du.

Polinomioen faktorizazioa

Batzutan baligarri gertatzen da polinomio konplexu bat bakunagoak diren beste batzuen biderkaduran deskonposatzea. Prozedura hau, faktorizazio deiturikoa, hondarraren eta faktorearen teoremen aplikazioan oinarritzen da eta Ruffiniren erregela aplikatzen du teknika legez.

Polinomio bat faktorizatzeko, era honetan egiten da:

• Zerrenda bat idazten da gai askearen zatitzaile guztiekin (polinomioaren erroak izateko hautagaiak direnak).
• Zatitzaile hauen artean polinomioaren erroak direnak zehazten dira, hauetako bakoitzari Ruffiniren erregela aplikatuz eta hondarra zero dutenak aukeratuz.
• Jatorrizko polinomioa lehenengo erroa duen binomioarekin zatitzearen ondoriozko polinomioa hartzen da, eta aurreko bi urratsak errepikatzen dira.
• Zatitzaileetako bat ere polinomioaren erroa (erreala) ez denean, polinomioa sinplifikaezintzat jotzen da.
• Jatorrizko polinomioa, polinomio sinplifikaezinaren eta (x - a_i), motako binomio guztien arteko biderkadura legez idazten da , a_i lortutako erro bakoitza izanik

  P (x) = (x - a₁) (x - a₂) ? (x - a_n) P_sinplifikaez (x)

Binomioen berreturak

Adierazpen aljebraikoen azterketan interes berezia du binomioen berreturetan ikusten diren portaera-erregulartasunen analisia, orokorrean (a + b)ⁿ legez adieraziak, n = 1, 2, 3, 4, ... izanik.

Orduan honako hau ikusten da:

• (a + b)ⁿ -ren gai-kopurua n + 1 izango da.
• Lortutako gai guztiek guztizko maila bera dute ( a eta b-ren mailen batura).
• Berreturaren emaitzaren koefizienteak zenbaki konbinatorio eran adieraz daitezke, aljebra eta konbinatoriaren artean lotura bat sortzeko aukera ematen dutelarik (54. gaia ikusi).

Zenbaki konbinatorio bat, idazten eta «m n gainean» irakurtzen dena, horrela definitzen da:

n-ren faktoriala, n! idazten dena, honako biderkadura hau izanik: n × (n - 1) × (n - 2) ? × 1.

Newtonen binomioa

Zenbaki konbinatorioen propietateetatik abiatuta, binomioen berreturaren adierazpena honako era honetan idaz daiteke:

Adierazpen honek Newtonen binomio izena hartzen du, eta era askotako aplikazioak ditu konbinatorian, ekuazio aljebraikoen ebazpenean eta serien garapenean.