Kopuru neurgarriak eta neurtezinak

Bi kantitate beraien artean erkatzen direnean, euren arteko bigarrena unitatea izanda, honakoa gerta daiteke:

• Lehenengo kantitateak unitatea edo beraren zatiren bat (zatikia) zehatz-mehatz edukitzea. Horrela izango balitz, kantitatea neurgarria dela esaten da, eta irudikatzen duen zenbakia, arrazionala (dela osokoa, dela zatikizkoa).
• Lehenengo kantitateak unitatea edo beraren zati bat ere, oso txikia bada ere, zehatz-mehatz eduki ezean, orduan kantitatea neurtezina da, eta irudikatzen duen zenbakia irrazionala da.

Zenbaki irrazionalak honela defini daitezke: periodorik gabeko zifra hamartar infinituak dauzkaten adierazpen hamartarrak. Zenbaki irrazionalen multzoak elementu infinituak dauzka. Beraietariko batzuk ondoko hauek dira: Ö2 == 1,4142135623..., P = 3,1415926535..., e = 2,7182818285... (logaritmo arrunt edo nepertarren oinarria), proportzio perfektuen urrezko zenbakia j = 1,618033989..., eta abar.

Oinarri arrazionaleko berreturak

a = a₁ / a₂ zenbaki arrazionala n berretzailera berretzean, non n osoko zenbakia baita, hauxe lortzen da: aⁿ = (a₁ / a₂)ⁿ = a₁ⁿ / a₂ⁿ, eta a₁, a₂ Î Z y a₂ ¹ 0 da. a, b Î Q bi zenbaki arrazional eta m, n Î Z, bi osoko zenbaki emanik honakoa ondorioztatzen da:

• a^-n = 1/aⁿ
• aⁿ × a^m = a^n+m, aⁿ/a^m = a^n-m
• (aⁿ)^m = a^n×m
• aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ, aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Oinarri arrazionaleko berreturak

Zentzu generikoan, oinarri arrazional bat berretura arrazional batera ere berretu daiteke. Berretura hori zatikizko zenbakien azpimultzoari egokituz gero, erroketa-eragiketa dela aipatu egingo da. Bere erarik sinpleena honela adierazten da:

n zenbakiak, zenbaki arrunt bat 1 baino handiagoa, erroaren indizea du izena; a errokizuna da eta b berezko erroa da. Ö ikurra errotzailea da.

Zentzu generikoan, erroketa-eragiketa honela idazten da:

Errotzaile baliokideak

Bi adierazpen errotzaile baliokideak dira erro berberak dauzkatenean. Kontzeptu horri buruz, errotzaileak erabiltzeko bi eragiketa erabilgarri mota egin daitezke:

• Sinplifikazioa: errotzailearen indizea eta berretura zatitzaile komun batez zatitzean datza. Horrela, Indizea eta berretura beraien artean lehenak direnean, erroa laburtezina dela esaten da.
• Indize komunera laburtzea: indize komun beraren azpian zenbait errotzaile biltzen uzten duen errodun eragiketa baten indize guztien multiplo komunetan txikienaren kalkuluan oinarriturik.

Eragiketa errotzaileekin

Errotzailedun adierazpenetan zenbait eragiketa egin daitezke:

• Batuketa: errotzaileak antzekoak direnean besterik ezin egin daiteke (hau da, indize eta errokizun berak dauzkate). Adibidez,
• Biderkadura: Errotzaile biek indize desberdinak izango balituzte, bion artean multiplo komunetan txikiena kalkulatuko litzateke eta errotzaile biak indize komun batera laburtuko lirateke. Adibidez,
• Zatidura: biderkadurak dauzkan salbuespen berekin.
• Berretura:
• Erroketa: honela definiturik:

Atenasko Partenoiko fatxadako altuera eta zabaleraren arteko erlazioak urrezko zenbakia ematen du. Garai guztietako artistek erabili dituzte urrezko proportzioak, bai arkitekturan, bai pinturan, bai eskulturan, bai argazkigintzan.

Errotzailea ateratzea eta arrazionalizatzea

Errotzaileekin egiten diren eragiketen barruan, bi manipulazio interesgarri bereiztu daitezke. Alde batetik, errokizunean erroaren indizea baino handiagoko ordena goreneko berretura gisa adieraz daitezkeen zenbakiak direnean, erroa formularen arabera atera daiteke:

Beste aldetik, zatidura batean izendatzailean errotzailerik izanez gero, errotzaileok zenbakitzailera alda daitezke arrazionalizatzea deritzon eragiketa baten bitartez. Horrela izendatzailea n indizeko errotzailea bada, hauxe gertatzen da:

, n > m izanez.