Sistema kartesiarrak

Matematikaren inguruko deskribapenetan oso ohikoa da erreferentzia sistema kartesiar ortogonalak erabiltzea. Erreferentzia-sistema horiek abiaburu deritzon gune komunean elkarri ebakitzen dioten bi (planoan) edo hiru (espazioan) ardatz perpendikularren multzoaren arabera zehazten dira.

Sistema kartesiarretan, planoan, ardatz horizontalean ( X batez adierazita) adierazitako baloreak abzisak dira, ardatz bertikalean (Y deiturikoa) adierazten diren baloreak, aldiz, ordenatuak dira.

Korrespondentziak, aplikazioak eta funtzioak

Ardatz kartesiar lauen gainean bi zenbaki-multzoren arteko erlazioa adieraz daiteke. Hortaz, erlazioko abiaburu-multzoko elementuak ardatz batean adierazten dira (normalean, horizontalean) eta irudi-multzoak bestean (ardatz bertikalean).

Bi multzoen arteko erlazioak bereziak dira korrespondentziaz identifikatzen direnean, hau da, abiaburu-multzoko elementuetatik abiatuta, irudi-multzoko elementu guztiak edo batzuk lortzeko, arauen multzo bat edo elkarketa-legeen multzo bat zehatz badaiteke.

Aplikazio baten adierazpen grafikoa (ezkerrean) eta aplikazio ez den korrespondentzia bat (eskuinean).

Abiaburu eta irudi multzoetako elementuak zenbakiak baldin badira, aplikazioei funtzio deritze. Garrantzia berezia dute aldagai errealeko funtzio errealek. Funtzio horiek zenbaki errealak erabiltzen dituzte abiaburu eta irudi multzoetako elementu gisa.

Funtzioa adierazteko f sinboloa erabiltzen da eta abiaburuko multzoa eta irudi-multzoa adierazteko, berriz, R. Hortaz, hau izango da aldagai errealeko funtzio erreal baten adierazpena: f:R ® R. Abiaburuko elementu baten adierazpena x baldin bada, y irudi-multzoko elementu batena izango da. Hortaz, x, y Î R, honela idatziko dugu y = f (x). x elementua funtzioaren aldagai askea da, y, berriz, mendeko aldagaia.

Funtzio jarraituak

Jarraipena da funtzioen ezaugarri garrantzitsuetako bat. Ezaugarri horren definizio zehatza egiteko limite (39. gaia ikusi) kontzeptuaz baliatzea beharrezkoa bada ere, eman genezake ezaugarri horren inguruko intuiziozko nola-halako esanahia.

Ikuspegi grafikotik, funtzioa jarraitua izango da emandako balore-tarte batean funtzio horren lerroa arkatza paperetik altxatu gabe osa daitekeenean tarte horretan. Alderantzizko kasuan, funtzioa etena izango da.

Hortaz, funtzio jarraituen ezaugarri nagusia, x aldagai askearen aldakuntza txiki batek y mendeko aldagaian nahi bezalako aldaketa txikiena eragiten duela da.

Funtzio lineala eta funtzio afina

Forma linealeko bi aldagaien arteko erlazio funtzionalak, hau da, zuzen batean adieraz daitezkeenak, bi kategoria nagusitan sailkatzen dira:

• Funtzio linealak: erreferentzia-sistemaren abiaburutik igarotzen den zuzen batekin adierazten diren funtzioak. Ondoko hau da funtzio linealen ohiko espresioa:
  y = f (x) = mx, m konstante bat izanik
• Funtzio afinak dira abiaburutik igarotzen ez diren zuzenen bitartez adierazten diren funtzioak:
  y = f (x) = mx + n, m eta n konstanteak dira eta ¹ 0

m konstantearen baloreak zuzenaren malda zehazten du, hau da, zuzen horrek ardatz horizontalarekin osatzen duen angeluaren tangentea. Bestalde, n funtzio afin baten zuzen adierazgarriaren ardatz bertikalarekiko ebakiduraren (abiaburuan ordenatua) balorea da. Horren guztiaren ondorioak hauek dira:

• m konstantea balore berekoa duten bi zuzen paraleloak dira (esaterako, y = 3x e y 3x +2).
• x = k ekuazioari erantzuten dioten zuzenak Y ardatzarekiko (x zuzena = 0) paraleloak dira, k konstante bat izanik.
• y = k formari erantzuten dioten zuzenak X ardatzarekiko paraleloak dira (y zuzena = 0).
• y = x zuzena lehen eta hirugarren koadranteen erdikaria da.
• y = -x zuzena bigarren eta laugarren koadranteak erdibitzen ditu.

Euren izaerarengatik, funtzio linealak eta funtzio afinak jarraituak dira zenbaki errealen multzo osoan.