Funtzioen jarraitasuna

Jarraitasunaren kontzeptua erreza da ulertzea intuitiboki. Modu erraz batean, tarte batean, aldagai errealeko funtzio erreal bat jarraitua dela esan daiteke, tarte horretan paper baten gainean arkatza altxatu gabe irudikatu daitekeenean. Ideha intuitibo hau matematikoki deskribatzeko limitearen kontzeptura jotzen da.

Funtzio baten jarraitasuna

f(x) funtzio bat a puntu batean jarraitua da baldin, eta soilik, ondorengo baldintzak betetzen badira:

  • Funtzioa a puntuan existitzen da.
  • x a-rantz doanean f(x)-en limitea existitzen da.
  • Funtzioaren balioa puntuan eta puntu horretako limitea berdinak dira:

Aurreko baldintzetariko bat betetzen ez denean funtzioa puntuan ez jarraitua edo etena dela esaten da.

Bestalde, (a, b) tartean funtzio bat jarraitua dela esaten da, x puntu guztietan jarraitua denean a < x < b betetzen delarik.

Funtzio jarraitu baten adibidea.

 

x = 1 puntuan irudiko funtzioa etena da.

Funtzio jarraituak

Funtzioen familia batzuentzat posible da beraien jarraitasuna ezagutzea ondorengo irizpideetan oinarrituta:

  • Funtzio polinomikoak jarraituak dira zenbaki errealen multzo osoan.
  • Bi funtzioen arteko zatiketatik lortutako funtzio arrazionalak jarraituak dira R multzoaren puntu guztietan, izendatzailea ezeztatzen denetan izan ezik.
  • Funtzio potentzialak, esponentzialak eta logaritmikoak jarraituak dira beraien definizio-eremu osoan.
  • Sinu eta kosinu funtzio trigonometrikoak jarraituak dira zenbaki errealen multzo guztian zehar (tangente funtzioa, aldiz, etena da p/2-ren multiplo bakoitietan).

Funtzio jarraituen propietateak

Puntu edo tarte baten f(x) eta g(x) funtzio jarraituak emanik, ondorengoa betetzen da:

  • Funtzioen arteko batuketa eta kenketa funtzio jarraitu bat da puntu edo tarte horretan.
  • Bi funtzioen arteko biderketa funtzio jarraitu bat da puntu edo tarte horretan.
  • Funtzioen arteko zatiketak beste funtzio jarraitu bat ematen du puntu edo tarte horretan, izendatzailea ezeztatzen ez denean izan ezik.
  • f(x) jarraia bada a-n eta g(x) jarraia bada f(a)-an, orduan (g ° f) (x) funtzio konposaketa jarraia da a puntuan.

Eten saihesgarriak

Edozein funtziok, emandako puntu batean ez baditu betetzen jarraitua izateko derrigorrezkoak diren baldintzak, etena da. Funtzioak puntuan limitea duenean baina funtzioa puntuarentzat mugaturik ez dagoenean, eten saihesgarria dela esaten da.

Saihesgarria den eten puntuan ere jarraitua den funtzio berri bat lortzeko ondorengo moduan jokatu behar da:

  • a puntuan funtzioaren limitearen balioa kalkulatzen da.
  • Funtzioaren definizio-eremuari a puntua gehitzen zaio eta honako balioa ematen zaio

x=2-an eten saihesgarri bat du f(x) funtzioak. F(x) jarraitua izango litzateke R-en.

Eten saihestezinak

Eten saihestezinak deituriko beste eten-mota batzuk daude, ezin ebatz daitezkeenak. Eten hauek honela sailkatzen dira:

  • Jauzidun etenak: alboko limite biak existitzen direnean (eskumatik eta ezkerretik), baina haien artean ezberdinak direnean.
  • Eten asintotikoak: limitea infinitu denean.
  • Definizio eremuagatik sortutako etenak: limitea existitzen denean eta funtzioa puntuan mugatuta dagoenean, baina balio biak bat ez datozenean.

Modu orokorrean bigarren motako etena deitzen zaio alboko limiteetariko bat mugatua denean eta bestea infinitu denean edo existitzen ez denean.

Orria posta elektronikoz bidali

< * Bete beharreko alorrak

Eskerrik Asko.
artikuluan arrakastaz bidalita da.

cerrar ventana
Lagun iezaguzu hobetzen! Zure iritzia garrantzitsua da, eta horregatik eskertuko genizuke zure iritziak eta iradokizunak info@hiru.eus helbidera bidaltzea.

< * Bete beharreko alorrak
cerrar ventana

 

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

 

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

  • facebook

    Facebook

    Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.

     
  • eskup

    Eskup

    Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

     
  • delicious

    Twitter

    Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.

     
  • tuenti

    Tuenti

    Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

     
  • technorati

    Google Buzz

    Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.

     
  • meneame

    Meneame

    Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

     
 

 

cerrar ventana

Derechos de reproducción de la obra

 

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailarenak dira hiru.eus webgunearen eta bertan agertzen diren elementu guztien jabetza intelektualaren eskubideak.

Halere, baimenduta dago hezkuntzaren esparruan hiru.eus-eko edukiak erabiltzea, betiere webguneari aipamena egiten bazaio eta Creative Commons CC-BY-NC-SA lizentziaren baldintzapean.
Informazio gehiagorako: pdf dokumentua jaitsi (943,2k).

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak bere buruari aitortzen dio, edozein unetan eta aurretiaz ohartarazi gabe, bere webguneko informazioa edota haren konfigurazioa edo itxura aldatzeko eta eguneratzeko ahalmena.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bermatzen ez dela akatsik egongo webguneko sarbidean, ezta han jasotako edukietan ere. Era berean, ez du ziurtatzen eduki hori behar bezala eguneratuta egongo denik. Dena den, beharrezko ahalegin guztia egingo du akats horiek saihesteko, eta, hala behar izanez gero, ahalik eta azkarren konpontzeko edo eguneratzeko.

Webgunera sartzea eta bertan jasotako informazioaz egiten den erabilera soilik erabiltzailearen erantzukizuna dira. Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du inolako erantzukizunik izango webgunera sartzeak edo hango informazioa erabiltzeak sor litzakeen ondorio edo kalteen aurrean, bere eskumenen erabilera zehatzetan jarraitu behar dituen legezko xedapenak ezartzearen ondorio diren egintza guztietan izan ezik.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailak ez du bere gain hartzen webgunean aipatzen diren kanpoko beste esteka batzuetara konektatzetik edo haietan jasotako edukietatik erator daitekeen inolako erantzukizunik.

Webgune honetan jasotako informazioa baimenik gabe edo oker erabiltzeak eta Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Sailaren jabego intelektual eta industrialaren eskubideetan sorturiko kalte eta galerek legez dagozkion egintzak erabiltzeko bidea emango diote aipatutako Administrazioari, eta, hala badagokio, erabilera horren ondorio diren erantzukizunak hartuko ditu.

  Pribatutasuna

Interesatuak emandako datuak dagokion prozedura edo egintzan aurreikusitako helburuetarako baino ez dira erabiliko.

Eusko Jaurlaritzaren Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa Saileko Etengabeko Ikaskuntzako Zuzendaritza da datu horiek biltzen dituen fitxategiaren erantzulea, eta haren aurrean egikaritu ahal izango dira sartzeko, zuzentzeko, deuseztatzeko eta aurka egiteko eskubideak. Horretarako, eskura duzu info@hiru.eus helbide elektronikoa.

cerrar ventana