La Topología inicialmente estudiaba los problemas relacionados con las curvas, las superficies y los objetos del plano y del espacio tridimensional. También estudia el espacio-tiempo de la relatividad general, los nudos, los grupos de simetrías, etc.

También existen objetos abstractos

Cuando decimos objetos tendemos a entender objetos sólidos y en éstos no hay mucha variabilidad. El factor que mayor variabilidad produce es el número de agujeros. En los objetos abstractos, que tienen más de tres dimensiones, en cambio, se ven cosas interesantes.

De hecho estudiamos mediante gráficos muchas cosas que no tienen naturaleza geométrica. Por ejemplo si tenemos un gráfico que representa la relación entre la presión y la temperatura, estas variables no son geométricas y las pendientes, los máximos, las superficies, etc. del diagrama tienen interpretación termodinámica. De suyo, para estudiar un tema como éste no hace falta la geometría para nada; bastaría el álgebra. Sin embargo, comprendemos más fácilmente las cosas cuando las representamos gráficamente, porque nos resulta más comprensible intuitivamente la geometría que el álgebra.

El ciclo de Otto. La representación gráfica de la relación entre la presión y el volumen en el interior de un motor de gasolina.

Si tuviésemos que representar las relaciones entre más de tres variables no lo podríamos hacer dibujándolas y a la intuición le resulta demasiado difícil imaginar cómo sería un espacio de más de tres dimensiones. Sin embargo, se puede estudiar el fenómeno recurriendo únicamente al álgebra, pero entonces la percepción visual que tanto nos ayuda queda al margen. Los matemáticos han encontrado una manera de resolver esto: los problemas se plantean mediante la lógica y el álgebra y las soluciones se expresan también de la misma manera. Se utilizan los conceptos geométricos, pero formulados algebraicamente. La intuición basada en la visión ayuda a argumentar y sugiere qué caminos se pueden probar.

El problema de los puentes de Könisberg

Con este nombre se conoce el primer problema que se resolvió en Topología. El río Pregel divide la ciudad de Königsberg en cuatro zonas (A, B, C y D).

Siete puentes permiten el paso de unas zonas a otras. Algunos habitantes se plantearon si se podría hacer un recorrido en el que se atravesasen los siete puentes pero pasando solamente una vez por cada uno. Todos los que lo intentaron fracasaron, incluido el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). Sin embargo, Euler acertó a explicar por qué era imposible ese recorrido.

Euler dijo que se podría hacer ese recorrido si cada zona estuviera unida con otras mediante un número de puentes que fuese par o si el recorrido comenzase en una zona y terminase en otra distinta y estas dos zonas estuviesen unidas a otras por un número impar de puentes y todas las demás por un número par.

Euler razonó de la siguiente manera: los caminantes, en una zona intermedia del recorrido deben entrar por un puente y salir por otro, por lo tanto, esas zonas intermedias deben estar unidas a otras por un número par de puentes. Además, si los caminantes salían de una zona a la que no iban a volver, esa zona debía estar unida por un solo puente y lo mismo la zona de llegada. Los puntos de partida y de llegada, por lo tanto pueden estar unidos por un número impar de puentes, pero si el punto de partida y el de llegada perteneciesen a la misma zona, todas las zonas debían estar unidas a otras mediante un número par de puentes. Puesto que los puentes de Königsberg no cumplían estas condiciones el recorrido que se plateaba era imposible.

Si dibujamos un diagrama que represente la situación, expresando las zonas mediante puntos y los puentes mediante segmentos o arcos que los unen, obtendremos el siguiente grafo:

Ahora el problema se ha convertido en partir de un punto y recorrer mediante un lápiz las líneas del diagrama, sin levantar el lápiz del papel, haciendo pasar la punta de éste una vez y solamente una vez por cada segmento o arco. Podemos ver si el número de uniones de cada punto es par o impar. Por ejemplo el de A es impar, porque de él parten 5 líneas. El de todos los demás es también impar. Puesto que hay más de dos puntos que tiene un número impar de uniones, no se cumplen las condiciones que hemos citado. Olvidándonos de puentes y zonas, la ley establecida se puede aplicar a cualquier grafo.

El teorema de la bola peluda

Otro problema curioso que resuelve la Topología es el del teorema de la bola peluda. Dicho en palabras corrientes, esto es lo que dice este teorema: si tenemos una bola que tiene un pelo en cada punto de una superficie no se puede peinar de forma que no quede ningún pelo tieso, por lo menos debe quedar uno así.

Utilizando lenguaje matemático diremos que todo campo continuo de vectores tangentes a una superficie esférica necesariamente tiene un punto donde el vector es cero. Lo mismo que en el caso del problema de los puentes de Königsberg, la Topología generaliza el planteamiento, la esfera no tiene por qué ser perfecta, lo que dice el teorema vale para cualquier bulto, con tal de que no tenga agujeros que lo atraviesen.

Equivalencia topológica, homomorfismo

A la hora de estudiar estas propiedades que no están asociadas a la forma concreta tiene importancia el concepto de equivalencia topológica. Formalmente dos espacios son topológicamente equivalentes si hay homomorfismo entre ellos. Dicho de un modo más informal, dos espacios son topológicamente equivalentes si uno de ellos se puede deformar hasta que coincida con la forma del otro sin añadir ni quitar ningún trozo. Desde este punto de vista una rosquilla y una taza son equivalentes. Si la rosquilla es suficientemente moldeable se puede convertir en taza haciendo que el agujero tenga radio cero y poniendo el material de modo que forme una pared que rodea al hueco.