Teorema de Rouché-Fröbenius
Enunciado del teorema de Rouché-Fröbenius
Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general sería:
se pueden definir su matriz de coeficientes C y su matriz ampliada A como:
Discusión y clasificación de sistemas lineales
Como consecuencia de la aplicación del teorema de Rouché-Fröbenius, los sistemas de m ecuaciones lineales con n incógnitas se pueden discutir y resolver con cierta rapidez. Así, se tiene que:
- Si los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son iguales, el sistema es compatible (tiene solución). Si el número de incógnitas es igual a dicho rango, será determinado (una solución), y si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es indeterminado (infinitas soluciones).
- Cuando los rangos de las matrices de los coeficientes y ampliada son distintos, el sistema es incompatible (no tiene solución).
Discusión de un sistema por el teorema de Rouché-Fröbenius.
Resolución por el teorema de Rouché-Fröbenius
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales basándose en el teorema de Rouché- Fröbenius, se procede del modo siguiente:
- Se discute el sistema, analizando los rangos de las matrices de coeficientes y ampliada.
- Si el sistema es compatible determinado, se toma el menor de la matriz de los coeficientes que ha dado el rango.
- El sistema equivalente que resulta se resuelve por la regla de Cramer (ver t18).
Sistemas lineales homogéneos
Los sistemas lineales en los que los términos independientes son siempre cero se llaman homogéneos. Un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial o impropia en la que todas las incógnitas son iguales a cero. Sin embargo, las raíces de interés en el análisis del sistema son todas las demás, si existieren, que se dicen soluciones propias.
Si se aplica el teorema de Rouché-Fröbenius a estos sistemas, se obtiene que:
- Cuando el rango de las matrices es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y por tanto su única solución es la trivial.
- Si el número de incógnitas es mayor que el rango, el sistema es compatible indeterminado y posee infinitas soluciones.
Un sistema lineal homogéneo nunca puede ser incompatible.
Discusión de un sistema lineal homogéneo por el teorema de Rouché-Fröbenius.
Sistemas dependientes de parámetros
En los sistemas de ecuaciones que dependen de uno o dos parámetros no existe un método fijo de resolución. Sin embargo, sus soluciones pueden discutirse con mayor facilidad por medio del teorema de Rouché-Fröbenius.
Normalmente, al calcular los determinantes de las matrices de coeficientes y ampliada, se obtiene una dependencia de los parámetros, de manera que del estudio de sus posibles valores se deduce si el sistema es compatible (determinado o indeterminado) o incompatible.
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