Superficies de revolución

En términos generales, se denomina superficie de revolución a toda figura geométrica que se forma al hacer girar una recta móvil alrededor de otra fija. Conos, cilindros y, en sentido amplio, esferas son grandes categorías genéricas de figuras engendradas por la rotación de elementos geométricos en torno a un eje fijo.

Cilindros

Cuando se hace girar una recta alrededor de otra recta fija paralela a ella, de forma que la distancia entre ambas se mantiene constante, se engendra una superficie cilíndrica de revolución. La recta fija se denomina eje y la paralela que realiza el giro es la generatriz. Si esta superficie cilíndrica se cierra con dos planos paralelos que cortan al eje se obtiene un cilindro.

Clases de cilindros.

Los principales elementos de un cilindro son sus bases, o caras determinadas por los planos paralelos, y la altura o cualquier segmento perpendicular entre las dos bases.

El cilindro se denomina de revolución si las bases son perpendiculares a las generatrices. El área de un cilindro de revolución es igual a la suma de las áreas de las bases más el área lateral. Si r es el radio de las bases y h la altura del cilindro, se tiene que:

A = 2Prh + 2Pr2

Conos

Cuando la superficie proviene del giro de una recta en torno a otra fija que se interseca con ella, se obtiene una superficie cónica de revolución. La recta fija es el eje, y la móvil se conoce como generatriz. El eje y la generatriz se cortan en un punto llamado vértice.

Nuevamente, al delimitar la porción abierta de esta superficie con un plano que corta a todas las generatrices, se obtiene un cono, cuyos elementos principales son:

  • La base, o porción del plano de delimitación comprendida entre las generatrices.
  • La altura, o segmento trazado en perpendicular desde el vértice del cono a la base.
  • La superficie lateral, comprendida entre la base y el vértice.

Si la base del cono es perpendicular al eje, el cono es de revolución, cuya área viene dada por la expresión (siendo g la generatriz y r el radio de la base):

A = Prg + Pr2

Esferas

Una superficie esférica es la que se engendra por la rotación de una semicircunferencia alrededor de un diámetro. La esfera resultante puede definirse como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la esfera es su radio.

Volumen de cilindros, conos y esferas

El volumen de una superficie cerrada se expresa como la medida del espacio que ocupa. En los cilindros y conos, este volumen se determina en función de la superficie de la base y la altura. En la esfera depende exclusivamente del radio.

Volumen de un cilindro.

Volumen de un cono de revolución.

Volumen de una esfera y una cuña esférica.

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