Superficies

Cuando nos preguntamos qué extensión tiene un campo de fútbol, cómo es de grande mi casa o cuánto mide la mesa en la que estudio, lo que queremos saber es cuál es su superficie. Para esto, lo que hacemos es tratar al espacio como una forma geométrica llamada polígono.

Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada, que se forma al unir tres o más segmentos rectilíneos llamados lados. Los polígonos se clasifican en regulares e irregulares.

Su extensión ocupa una determinada superficie, que se puede medir de diferentes formas.

¿Qué es la superficie de un polígono?

Llamamos área o superficie de un polígono a la región interior del plano delimitada por sus lados. A menudo, nos interesa conocer lo que mide el área o superficie de un polígono.

La unidad de medida de cualquier superficie en el sistema internacional (SI) es el m2 (metro cuadrado), según el sistema métrico decimal. En el siguiente cuadro podemos ver otras formas de expresar la medida de una superficie, en función de múltiplos y submúltiplos del m2 .

En algunos sitios se usan también otro tipo de medidas de superficie, que han llegado a nosotros a través de una tradición de siglos, y que normalmente están relacionadas con los procesos agrícolas. Por ejemplo, una medida de capacidad de grano se corresponde con la superficie de tierra que se puede sembrar con ella.

Éstas son las equivalencias de algunas de las medidas agrícolas históricas:

Nombre Equivalencia
Fanega de Álava 2.511 m2
Fanega de Albacete 7.006 m2
Tabulla de Murcia 1.118 m2
Día de bueyes de Oviedo 1.258 m2
Jornal de Lleida 4.358 m2
Aranzada de Cordoba 3.673 m2

Puesto que ya conocemos la unidad de medida que tenemos que utilizar, a continuación veremos cómo se mide la superficie de un polígono. Éstos se dividen en:

  • Regulares: aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales.
  • Irregulares: aquellos que tienen al menos un lado o ángulo desigual.

Área del paralelogramo

El paralelogramo es un tipo de polígono de cuatro lados o cuadrilátero, que se caracteriza porque sus lados son paralelos dos a dos. Dentro de este grupo de polígonos se incluyen el rectángulo, el cuadrado, el rombo y el romboide.

Área del rectángulo

Para calcular el área de un rectángulo multiplicamos su base por su altura.

A = o · h

Área del cuadrado

Como un cuadrado es un polígono regular que tiene todos sus lados iguales, la longitud de su altura y su base coinciden. Para hallar el área del cuadrado, entonces, se multiplica el lado por sí mismo.

A = l · l = l2

Área del romboide y rombo

El área de un romboide se obtiene multiplicando su base por su altura.

A = o · h

Área del triángulo

El triángulo es un polígono de tres lados, y, por tanto, es el polígono más elemental. El área de un triángulo se obtiene al dividir entre dos el producto de su base por su altura.

En el caso particular de un triángulo rectángulo, el área es igual al producto de los catetos dividido entre dos. Un cateto es cada uno de los dos lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto. La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto. Es el mayor de los tres lados de este triángulo.

Según el teorema de Pitágoras, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esto nos sirve para calcular la medida desconocida de cualquier lado de un triángulo rectángulo, conocidos los dos.

h2 = k2 + k2

Área del trapecio y del trapezoide

Un trapecio es un polígono de cuatro lados en el que dos de sus lados son paralelos. Un trapezoide es un polígono en el que ninguno de sus lados es paralelo, como por ejemplo, la clásica cometa.

El trapecio

El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de sus bases por su altura.

O = base mayor

o = base menor

h = altura

El trapezoide

El trapezoide, cuadrilátero cuyos lados no son ni iguales ni paralelos, se descompone en tres polígonos: dos triángulos y un trapecio. Así, su área será igual a la suma de las áreas de los dos triángulos más el área del trapecio.

Área de los polígonos regulares de más de cuatro lados

En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono.

El área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de lados.

El área de cada triángulo es el producto del lado del polígono por la apotema, partido por dos. La apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular y el punto medio de cualquiera de sus lados.

a = apotema

Si el polígono tiene n lados, se forman n triángulos. Entonces,

Por tanto, el área de un polígono regular de más de cuatro lados será igual al área de cada triángulo formado multiplicada por el número de lados (que coincide con el número de triángulos formados en el interior del polígono):

p = perímetro

a = apotema

Área de los polígonos irregulares

  • Para hallar el área de los polígonos irregulares los descomponemos en figuras equivalentes con áreas conocidas o fáciles de determinar.
  • Cualquier polígono, regular o irregular, puede descomponerse en triángulos. Es lo que se llama triangulación. El número de triángulos resultante siempre es dos veces menor que el número de lados del polígono.
  • Por lo general, los polígonos irregulares de más de cuatro lados se descomponen en triángulos y su área es el resultado de la suma de las áreas de todos sus triángulos.
  • Pero los polígonos irregulares se pueden descomponer en otros polígonos diferentes, sin necesidad de que todos sean triángulos.

Área del círculo

Un círculo es la parte de plano delimitada por una circunferencia. Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto llamado centro.

El área de un círculo es igual al número P (pi) por el cuadrado del radio, siendo el radio un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

A = P · r2

El numero P es una noción fundamental en geometría. P es la decimosexta letra del alfabeto griego, que se utiliza como un número real en aritmética. Indica la relación entre la longitud de una circunferencia y su radio.

Es un número decimal ilimitado no periódico. Esto quiere decir que sus decimales no acaban nunca. La búsqueda de estos decimales ha apasionado a los matemáticos a lo largo de toda la historia. El primero en intentarlo fue el griego Arquímedes, quien halló los cuatro primeros.

Actualmente, a través de sencillos algoritmos y con la ayuda de potentes ordenadores, se conocen más de 6.000 millones de decimales. Aunque aquí no nos cabrían todos, veamos unos pocos:

P = 3.141592653589793238...

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