Resolución de triángulos
Triángulos rectángulos
Para resolver completamente un triángulo rectángulo basta con conocer un lado y un ángulo o, también, dos lados. Los elementos utilizados en la resolución de triángulos rectángulos son:
Triángulo rectángulo.
- El principio de que la suma de los dos ángulos no rectos es igual a 90º.
- El teorema de Pitágoras.
- Las razones trigonométricas siguientes:
sen B = cos C = b/a,cos B = sen C = c/a,tg B = b/c, tg C = c/b.
Resolución de un triángulo no rectángulo
Para la resolución completa de un triángulo cualquiera basta con conocer tres de sus datos, salvo si se trata de los tres ángulos. A partir de ellos, se utilizan las siguientes herramientas para el cálculo de sus lados y sus ángulos:
- El principio de que la suma de los tres ángulos es igual a 180º.
- El teorema del seno (ver t24).
- El teorema del coseno (ver t24).
- Las fórmulas del cálculo del área del triángulo: donde b es la base; h, la altura; p, el semiperímetro del triángulo; r, el radio de la circunferencia inscrita, y a, b, c, los lados.
- El teorema de la tangente, que se expresa como:
Semejanza entre triángulos
Dos triángulos se denominan semejantes cuando todos sus ángulos son iguales y sus lados proporcionales entre sí. El coeficiente de proporcionalidad entre cada dos lados correspondientes de los dos triángulos se denomina razón de semejanza.
Los triángulos semejantes cumplen las dos propiedades siguientes:
- La razón entre dos alturas correspondientes de ambos triángulos es igual a la razón de semejanza.
- La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.
Teoremas de los triángulos rectángulos
La aplicación de los principios de la semejanza de triángulos permite deducir las relaciones métricas que existen entre sus elementos. Estas relaciones se resumen en algunos teoremas esenciales de la geometría plana:
- El teorema de la altura indica que, en un triángulo rectángulo, la altura que corresponde a la hipotenusa se calcula como la media proporcional entre los segmentos en que dicha altura divide a la hipotenusa.
- Según el teorema del cateto, en un triángulo rectángulo el valor de cada cateto se obtiene como la media proporcional entre la hipotenusa y la proyección del cateto sobre ella.
- El teorema de Pitágoras afirma que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Elementos de un triángulo rectángulo.
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