Estudio de una función

Para estudiar el comportamiento de una función, se aplica un procedimiento sistemático que comprende los puntos siguientes:

• Determinación de su dominio de definición (ver t45).
• Búsqueda de simetrías y periodicidades (ver t45).
• Fijación de los puntos de corte con los ejes (ver t45).
• Cálculo de las asíntotas.
• Tendencias de crecimiento y decrecimiento, con determinación de los máximos y los mínimos relativos (ver t45).
• Concavidad, convexidad y puntos de inflexión (ver t45).
• Análisis del comportamiento de la función en las distintas regiones del plano.
• Representación gráfica.

Asíntotas de una función

Después de determinar el dominio de definición, las simetrías y periodicidades y los puntos de corte con los ejes, el estudio de la función prosigue con la búsqueda de asíntotas, definidas como las rectas a las que tiende la función en el infinito.

• Una función tiene como asíntota horizontal la recta de ecuación y = b si cuando x tiende a +¥ o -¥ la función tiene al menos un límite lateral cuyo valor es b.
• La función tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = a cuando en dicho punto existe al menos uno de los límites laterales y su valor es +¥ o -¥.
• Para que la función tenga como asíntota oblicua una recta de ecuación y = mx + n, siendo m ¹ 0, tiene que existir alguno de los dos límites siguientes, y ser nulo:

Los valores de la pendiente m y la ordenada en el origen n se determinan como:

Tendencias, concavidad y puntos singulares

Después de fijar el valor de las asíntotas, se procede a establecer las tendencias de crecimiento y decrecimiento de la función. Para ello se determinan:

• Los máximos relativos (ver t45), puntos donde la derivada primera de la función se anula y la derivada segunda es estrictamente negativa.
• Los mínimos relativos (ver t45), donde la primera derivada se anula y la derivada segunda es estrictamente positiva.

Si la segunda derivada es también nula, se estudia la tercera derivada de la función en el punto. Cuando ésta es distinta de cero, se trata de un punto de inflexión (ver t45); si es nula, se han de analizar las derivadas de orden superior.

Del análisis de máximos y mínimos se determina la tendencia creciente o decreciente de la función (ver t45). Los puntos de inflexión sirven para conocer si es cóncava o convexa:

• Una función f (x) es cóncava hacia arriba (convexa) en un intervalo cuando su derivada f ¿ (x) es monótona creciente y su segunda derivada f ¿ (x) es positiva en dicho intervalo.
• La función es cóncava hacia abajo (cóncava) si f¿(x) es monótona decreciente y f¿(x) es negativa en el intervalo.

Regiones del plano

Una vez conocidos el dominio de definición, las simetrías, los cortes con los ejes, las asíntotas, los puntos críticos, el crecimiento y la concavidad de una función, para representarla visualmente se divide el plano en regiones que ayuden a conocer su comportamiento.

Ejemplo de regionalización de una función para el análisis gráfico de su comportamiento.

Las informaciones obtenidas del estudio de una función se pueden complementar con una breve tabla de valores que ayude a fijar exactamente la posición de las diversas ramas de la función. Con ello, su evolución en el plano quedará perfectamente definida, y el trabajo de estudio terminado.