Reglas de derivación (II)

Para derivar cualquier función basta con conocer las propiedades de la derivación y, con objeto de simplificar los cálculos, memorizar las fórmulas genéricas de las derivadas de las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Funciones potencial, logarítmica y exponencial

La derivada de una función potencial, que se expresa como f (x) = un (x), se calcula como el producto del exponente por la derivada de la función u (x) y por la función u (x) elevada a un grado menos (n-1).

La derivada de una función logarítmica, de fórmula general f (x) = loga u(x), se obtiene como el cociente de la derivada de u (x) por la propia función u (x) y todo ello multiplicado por el logaritmo en base a del número e. Esta fórmula se simplifica para los logaritmos neperianos, ya que loge e = 1.

Finalmente, para derivar una función exponencial de expresión general f (x) = au(x), se multiplica la propia función por la derivada del exponente, y todo ello multiplicado por el logaritmo neperiano de la base. Como caso particular, hay que resaltar que la función y = ex tiene como derivada ella misma (y¿ = ex).

Funciones trigonométricas

La derivación de funciones trigonométricas se resume en unas reglas muy sencillas de recordar. En esencia, la derivada del seno es igual al coseno, y la del coseno coincide con el seno cambiado de signo (todo ello multiplicado, claro está, por la derivada de la función que figura como argumento de la razón trigonométrica). Es decir:

Las restantes funciones trigonométricas se determinan aplicando las reglas de la derivación de un cociente de funciones (para la tangente, la cotangente, etcétera) y la regla de la cadena (para las funciones circulares inversas).

Derivación de una función implícita

La derivación de una función expresada en la forma explícita y 5 f (x) es sencilla si se conocen las reglas de derivación. En cambio, esta tarea se complica cuando la función que ha de derivarse está implícita en una expresión (por ejemplo: y3 + xy ++ 2x = 5, donde se ha de derivar y).

Para obtener esta derivada, lo primero que hay que hacer es despejar y. A veces, esta operación resulta complicada, por lo que resulta preferible aplicar el procedimiento siguiente:

  • Derivar los dos miembros de la ecuación implícita.
  • Despejar y¿ en la ecuación resultante.Tal valor será el resultado de la derivada de la función implícita.

Tabla de derivadas

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y de la aplicación de las propiedades de derivación, es posible obtener fácilmente la derivada de cualquier función explícita. En la tabla adjunta se resumen las reglas generales de derivación.

Tabla de derivadas de funciones comunes:

A partir de ellas y aplicando las propiedades y reglas de derivación, puede obtenerse la derivada de cualquier función de estructura más compleja:

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