Teorema del resto y teorema del factor

Por la aplicación de la regla de Ruffini para el cociente entre polinomios (ver t31), se sabe que al dividir un polinomio P (x) por un binomio x - m se obtiene un nuevo polinomio Q (x) de un grado inferior a P (x) y un resto de grado estrictamente menor que 1, es decir, igual a una cantidad numérica r. Por tanto:

P (x) = Q (x) (x - m) + r

El valor numérico del polinomio P (x) sustituyendo x por m será P (m) = r. Este principio se conoce como teorema del resto, y afirma que el resto del cociente de un polinomio por un binomio x - m es igual al valor numérico que adopta dicho polinomio para x = m.

De ello se deduce como corolario el llamado teorema del factor, por el cual se afirma que un polinomio P (x) es divisible por un binomio x - m si, y sólo si, el valor numérico de dicho polinomio para x = m es cero.

De ello se deduce como corolario el llamado teorema del factor, por el cual se afirma que un polinomio P (x) es divisible por un binomio x - m si, y sólo si, el valor numérico de dicho polinomio para x = m es cero.

Se dice que un número a es una raíz de un polinomio P(x), si P(a) = 0.

De esta forma, si a es una raíz entera de un polinomio P (x) con coeficientes enteros, este valor a debe ser un divisor del término independiente de P (x).

Factorización de polinomios

En ocasiones resulta práctico descomponer un polinomio complejo en el producto de otros más sencillos. Este procedimiento, denominado factorización, se basa en la aplicación de los teoremas del resto y del factor, y aplica como técnica la regla de Ruffini.

Para factorizar un polinomio, se actúa del modo siguiente:

• Se escribe una lista con todos los divisores del término independiente (que son candidatos a raíces del polinomio).
• Se determina cuáles de estos divisores son raíces del polinomio, aplicando a cada uno de ellos la regla de Ruffini y seleccionando aquellos cuyo resto sea cero.
• Se toma el polinomio resultante de dividir el original por el binomio con la primera raíz, y se vuelven a repetir los dos pasos anteriores.
• Cuando se llega a una situación en que ninguno de los divisores es raíz (real) del polinomio, éste se considera irreducible.
• Se escribe el polinomio original como el producto del polinomio irreducible final por todos los binomios del tipo (x - a_i), siendo ai cada una de las raíces obtenidas.

  P (x) = (x - a₁) (x - a₂) ? (x - a_n) P_irred (x)

Potencias de binomios

En el estudio de las expresiones algebraicas resulta de especial interés el análisis de las regularidades de comportamiento que se aprecian en las potencias de binomios, expresadas genéricamente como (a + b)ⁿ, con n = 1, 2, 3, 4, ...

Entonces se observa que:

• El número de términos de (a + b)ⁿ es igual a n + 1.
• Todos los términos obtenidos tienen el mismo grado total (suma de los grados de a y b).
• Los coeficientes del resultado de la potencia pueden expresarse en forma de números combinatorios, que permiten establecer una vinculación entre el álgebra y la combinatoria (ver t54).

Un número combinatorio, escrito como y leído «m sobre n», se define como:

donde el factorial de n, escrito como n!, es igual al producto: n × (n - 1) × (n - 2) ? × 1.

Binomio de Newton

A partir de las propiedades de los números combinatorios, la expresión de la potencia de binomios se puede escribir del modo siguiente:

Esta expresión recibe el nombre de binomio de Newton, y tiene múltiples aplicaciones en combinatoria, resolución de ecuaciones algebraicas y desarrollo de series.