Cálculo de determinantes

En el manejo de determinantes se pueden establecer algunas propiedades que facilitan las operaciones de cálculo. Tales propiedades son:

• 1. Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.
• 2. El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.
• 3. Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.
• 4. Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.
• 5. Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.
• 6. El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.
• 7. Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

Propiedad 4.

Otras propiedades de los determinantes

• 1. El determinante de una matriz cuadrada es igual al de su traspuesta: |A| = |A^t|.
• 2. El determinante de un producto de matrices coincide con el producto de los determinantes de cada matriz:|A × B| = |A| × |B|.
• 3. Cuando una matriz tiene inversa, su determinante es distinto de cero; análogamente, si el determinante de una matriz no es nulo, dicha matriz tiene inversa.
• 4. El determinante de la inversa de una matriz es igual al inverso del determinante de la matriz.
• 5. La suma de los productos de los elementos de una fila o columna de una matriz por los adjuntos de otra fila o columna es siempre nula.
• 6. La matriz de los adjuntos de una matriz A dada de dimensión n tiene un determinante igual al determinante de A elevado a n-1.

El método de Gauss

La aplicación de las propiedades de los determinantes permite obtener el valor de un determinante dado a través de su transformación en otro de igual valor. Un procedimiento particularmente interesante es el llamado método de Gauss, que consiste en:

• Elegir el primer elemento de la diagonal principal del determinante.
• Aplicar las propiedades de cálculo de los determinantes hasta lograr que todos los elementos de la columna del elegido, salvo él mismo, sean iguales a cero.
• Elegir el segundo elemento de la diagonal principal y aplicar las propiedades de los determinantes para obtener que todos los elementos de su columna situados debajo de él sean nulos.
• Aplicar sucesivamente este método hasta obtener un determinante triangular o diagonal, cuyo valor será el producto de los elementos de su diagonal principal.

Rango de una matriz

Dada una matriz cuadrada A de orden n, es posible considerar múltiples submatrices también cuadradas de orden h, siendo h £ n. El determinante de cada una de estas submatrices se dice menor de orden h de la matriz A.

Entonces, se llama rango de una matriz al máximo orden de sus menores no nulos. El rango se simboliza por rang (A).