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Sucesiones recurrentes

Progresiones aritméticas y geométricas

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una clase de sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija predeterminada denominada diferencia. Llamando d a esta diferencia, el término general de la progresión an , que ocupa el número de orden n en la misma, se puede determinar a partir del valor del primero de los términos, a1.

an = a1 + (n - 1) d.

Las sucesiones (por ejemplo, las progresiones aritméticas y geométricas) pueden verse como correspondencias unívocas entre el conjunto de los números naturales N y el de los reales R.

Suma de los términos de una progresión aritmética

Para determinar la suma de un número finito de términos de una progresión aritmética, denotada por a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an, basta con considerar el principio de que los pares de términos a1 y an, a2 y an-1, a3 y an-2, etcétera, son equidistantes, de manera que todos estos pares suman una misma cantidad.

Generalizando esta consideración, se tiene que la suma de todos los términos de una progresión aritmética es igual a:

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Entre cada dos términos a y b de una progresión aritmética es posible interpolar otros m términos, llamados medios diferenciales, de manera que todos ellos integren una nueva progresión aritmética (con m + 2 términos) donde a y b sean los extremos.

La diferencia de esta progresión se determinará con arreglo a la siguiente fórmula:

Progresiones geométricas

Otra forma común de sucesión es la constituida por las llamadas progresiones geométricas. Estas progresiones se definen como aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor fijo predefinido que se conoce como razón.

El término general an de una progresión geométrica puede escribirse como:

an = a1 × rn-1

Suma y producto de los términos de una progresión geométrica

La suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica puede calcularse a partir de cualquiera de las siguientes expresiones:

Esta fórmula sólo es válida si r ¹ 1, ya que si r = 1 todos los términos de la progresión serían iguales, y la suma sería Sn = a1 × n.

Cuando r > 1, la progresión crece indefinidamente y la suma de sus términos tiende a infinito. En cambio, si r < 1, cada término será menor que el anterior, y la progresión se irá acercando a 0 conforme aumente el número de sus términos. Cuando | r | < 1, puede demostrarse que la suma se convierte en:

Por otra parte, es fácil obtener que el producto de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual a:

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Entre dos términos a y b de una progresión geométrica es posible intercalar m términos, denominados medios geométricos o proporcionales, tales que todos ellos (los m + 2 términos resultantes) constituyan una nueva progresión geométrica de razón r determinada como:

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