Probabilidad condicionada y compuesta

Cuando se analizan fenómenos aleatorios complejos como puedan ser el lanzamiento de varios dados a la vez o la extracción de bolas de una bolsa sin reintegrarlas a la misma después de sacadas, el cálculo de probabilidades siguen principios especiales, aunque perfectamente mensurables. En estos casos se habla de experimentos aleatorios y probabilidades compuestos o condicionados.

Probabilidad condicionada

Cuando se producen sucesos estocásticos consecutivamente de un espacio muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones:

  • Los sucesos son independientes entre sí, de manera que no influyen uno en el otro.
  • Cada suceso está condicionado por el resultado del anterior.

Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B, se dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada, expresado como P (B / A), cuyo valor es:

El suceso A no puede ser un suceso imposible, pues sería P (A) = 0.

Experimentos compuestos

Se llama experimento aleatorio compuesto al que resulta de la realización de varios experimentos aleatorios simples. En general, a un experimento compuesto se asocia una probabilidad compuesta, también llamada probabilidad producto y expresada como P (A Ç B) o, simplemente, P (AB). Según la definición de probabilidad condicionada, el valor de la probabilidad compuesta por dos experimentos simples dependientes viene dado por:

Diagrama de árbol relativo al experimento compuesto que consiste en lanzar tres veces una moneda al aire.

En el caso particular de que los sucesos del experimento compuesto sean independientes, se cumple que P (A Ç B) = P (A) × P (B). Cuando el experimento compuesto corresponde a tres experimentos simples, la fórmula se transforma en:

Si A, B y C son dependientes:P (A Ç B Ç C) = P (ABC) = P (A) × P (B/A) × P (C/A Ç B)Si A, B y C son independientes: P (A Ç B Ç C) = P (A) × P (B) × P (C)

Probabilidad total

Cuando los sucesos elementales de un experimento no se refieren a todo el espacio muestral sino a algún subconjunto del mismo, el cálculo de probabilidades se hace más complejo. Un ejemplo típico de este problema es el experimento consistente en sacar bolas de tres bolsas distintas, de manera que en cada bolsa existe una distribución de bolas diferente. ¿Cuál sería la probabilidad de que una bola extraída sea de un determinado color?

En estos casos se recurre al llamado teorema de la probabilidad total, según el cual si se parte el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos incompatibles A1, A2, ¿, An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se analiza un suceso cualquiera B, conocidas todas las probabilidades de A1, A2, ¿, An y las probabilidades condicionadas de B con respecto a cada uno de estos sucesos incompatibles, se puede deducir:

Ejemplo del diagrama de árbol correspondiente a un experimento que consiste en sacar una bola roja (R) de una de estas tres bolsas: la primera bolsa tiene 2 bolas rojas y 3 negras; la segunda bolsa, 3 bolas rojas y 7 negras, y la tercera bolsa, 4 bolas rojas y 4 negras.

Teorema de Bayes

Cuando se calcula la probabilidad de un fenómeno después de que éste se haya producido, se habla de probabilidad a posteriori. Por ejemplo, supóngase que en el experimento de la extracción de una bola de entre varias bolsas se sabe que se ha sacado una bola roja; ahora bien, ¿de qué bolsa procede? La respuesta se obtiene de la ley de la probabilidad a posteriori.

Si se divide el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos incompatibles A1, A2, ..., An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se considera un suceso cualquiera B, conocida la probabilidad de B (que ha de ser distinta de cero), la probabilidad a posteriori para cada Ai (con i = 1, 2, ¿, n) se obtiene mediante el llamado teorema de Bayes:

Enviar la página por correo a

< * Campos obligatorios

Muchas gracias.
El artículo ha sido enviado correctamente.

cerrar ventana
¡Ayúdanos a mejorar! Tu opinión es importante, por lo que agradecemos que nos envíes tus opiniones y sugerencias a info@hiru.eus

* Campos obligatorios
cerrar ventana

 

¿Qué son los iconos de "Compartir"?

 

Todos los iconos apuntan a servicios web externos y ajenos a HIRU.com que facilitan la gestión personal o comunitaria de la información. Estos servicios permiten al usuario, por ejemplo, clasificar , compartir, valorar, comentar o conservar los contenidos que encuentra en Internet.

¿Para qué sirve cada uno?

  • facebook

    Facebook

    Comparte con amigos y otros usuarios fotos, vídeos, noticias y comentarios personales, controlando la privacidad de los mismos.

     
  • eskup

    Eskup

    Conversa sobre los temas que te interesan y que proponen los expertos. Todo ello en 280 caracteres con fotos y vídeos. Lee, pregunta e infórmate.

     
  • delicious

    Twitter

    Contacta y comparte con amigos, familiares y compañeros de trabajo mensajes cortos (tweets) de no más de 140 caracteres.

     
  • tuenti

    Tuenti

    Conéctate, comparte y comunícate con tus amigos, compañeros de trabajo y familia.

     
  • technorati

    Google Buzz

    Comparte tus novedades, fotos y vídeos con tus amigos e inicia conversaciones sobre los temas que te interesan.

     
  • meneame

    Meneame

    Sitio web que se sirve de la inteligencia colectiva para dar a conocer noticias. Los usuarios registrados envían historias que los demás usuarios del sitio pueden votar.

     
 

 

cerrar ventana

Derechos de reproducción de la obra

 

Los derechos de propiedad intelectual de la web hiru.eus y de los distintos elementos en ella contenidos son titularidad del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco.

No obstante, se permite el uso de los contenidos de hiru.eus en el ámbito educativo, siempre que se haga referencia y bajo las condiciones de licencia Creative Commons CC-BY-NC-SA.
Para más información: descarga el PDF (969,4k) .

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco se reserva la facultad de efectuar, en cualquier momento y sin necesidad de previo aviso, modificaciones y actualizaciones sobre la información contenida en su web o en su configuración o presentación.

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no garantiza la inexistencia de errores en el acceso a la web, en su contenido, ni que éste se encuentre oportunamente actualizado, aunque desarrollará los esfuerzos precisos para evitarlos y, en su caso, subsanarlos o actualizarlos a la mayor brevedad posible.

Tanto el acceso a la web, como el uso que pueda hacerse de la información contenida en el mismo son de la exclusiva responsabilidad de quien lo realiza. El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no responderá de ninguna consecuencia, daño o perjuicio que pudieran derivarse de dicho acceso o uso de información, con excepción de todas aquellas actuaciones que resulten de la aplicación de las disposiciones legales a las que deba someterse en el estricto ejercicio de sus competencias.

El Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco no asume responsabilidad alguna derivada de la conexión o contenidos de los enlaces de terceros a los que se hace referencia en la web.

La utilización no autorizada de la información contenida en esta web, el uso indebido de la misma, así como los perjuicios y quebrantos ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco dará lugar al ejercicio de las acciones que legalmente le correspondan a dicha Administración y, en su caso, a las responsabilidades que de dicho ejercicio se deriven.

  Privacidad

Los datos aportados por la persona interesada se utilizarán, con carácter único y exclusivo, para los fines previstos en el procedimiento o actuación que se trate.

El órgano responsable del fichero donde se recogen dichos datos es la Dirección de Aprendizaje Permanente del Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco, ante quién podrán ejercerse los derechos de acceso, rectificación, cancelación y oposición. Para tal fin contacta con info@hiru.eus.

cerrar ventana