Probabilidad condicionada y compuesta

Cuando se analizan fenómenos aleatorios complejos como puedan ser el lanzamiento de varios dados a la vez o la extracción de bolas de una bolsa sin reintegrarlas a la misma después de sacadas, el cálculo de probabilidades siguen principios especiales, aunque perfectamente mensurables. En estos casos se habla de experimentos aleatorios y probabilidades compuestos o condicionados.

Probabilidad condicionada

Cuando se producen sucesos estocásticos consecutivamente de un espacio muestral, pueden darse dos tipos genéricos de situaciones:

  • Los sucesos son independientes entre sí, de manera que no influyen uno en el otro.
  • Cada suceso está condicionado por el resultado del anterior.

Cuando un suceso A influye en el resultado de un segundo suceso B, se dice que la probabilidad de éste es una probabilidad condicionada, expresado como P (B / A), cuyo valor es:

El suceso A no puede ser un suceso imposible, pues sería P (A) = 0.

Experimentos compuestos

Se llama experimento aleatorio compuesto al que resulta de la realización de varios experimentos aleatorios simples. En general, a un experimento compuesto se asocia una probabilidad compuesta, también llamada probabilidad producto y expresada como P (A Ç B) o, simplemente, P (AB). Según la definición de probabilidad condicionada, el valor de la probabilidad compuesta por dos experimentos simples dependientes viene dado por:

Diagrama de árbol relativo al experimento compuesto que consiste en lanzar tres veces una moneda al aire.

En el caso particular de que los sucesos del experimento compuesto sean independientes, se cumple que P (A Ç B) = P (A) × P (B). Cuando el experimento compuesto corresponde a tres experimentos simples, la fórmula se transforma en:

Si A, B y C son dependientes:P (A Ç B Ç C) = P (ABC) = P (A) × P (B/A) × P (C/A Ç B)Si A, B y C son independientes: P (A Ç B Ç C) = P (A) × P (B) × P (C)

Probabilidad total

Cuando los sucesos elementales de un experimento no se refieren a todo el espacio muestral sino a algún subconjunto del mismo, el cálculo de probabilidades se hace más complejo. Un ejemplo típico de este problema es el experimento consistente en sacar bolas de tres bolsas distintas, de manera que en cada bolsa existe una distribución de bolas diferente. ¿Cuál sería la probabilidad de que una bola extraída sea de un determinado color?

En estos casos se recurre al llamado teorema de la probabilidad total, según el cual si se parte el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos incompatibles A1, A2, ¿, An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se analiza un suceso cualquiera B, conocidas todas las probabilidades de A1, A2, ¿, An y las probabilidades condicionadas de B con respecto a cada uno de estos sucesos incompatibles, se puede deducir:

Ejemplo del diagrama de árbol correspondiente a un experimento que consiste en sacar una bola roja (R) de una de estas tres bolsas: la primera bolsa tiene 2 bolas rojas y 3 negras; la segunda bolsa, 3 bolas rojas y 7 negras, y la tercera bolsa, 4 bolas rojas y 4 negras.

Teorema de Bayes

Cuando se calcula la probabilidad de un fenómeno después de que éste se haya producido, se habla de probabilidad a posteriori. Por ejemplo, supóngase que en el experimento de la extracción de una bola de entre varias bolsas se sabe que se ha sacado una bola roja; ahora bien, ¿de qué bolsa procede? La respuesta se obtiene de la ley de la probabilidad a posteriori.

Si se divide el espacio muestral E en un conjunto de n sucesos incompatibles A1, A2, ..., An, donde E = A1 È A2 È ¿ È An, y se considera un suceso cualquiera B, conocida la probabilidad de B (que ha de ser distinta de cero), la probabilidad a posteriori para cada Ai (con i = 1, 2, ¿, n) se obtiene mediante el llamado teorema de Bayes:

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