Polinomios

En la formulación abstracta de problemas matemáticos se recurre con frecuencia a las llamadas expresiones algebraicas, que no son sino conjuntos de letras y números unidos entre sí por signos aritméticos. Los polinomios son casos especiales de expresiones algebraicas donde las variables o indeterminadas aparecen siempre elevadas a un exponente positivo y entero.

Elementos de un polinomio con una variable

Se llama polinomio a toda expresión algebraica definida como la suma ordenada de un número finito de monomios, donde un monomio es el producto de un coeficiente por una variable elevada a un exponente. Cada uno de los sumandos del polinomio se denomina término. La expresión general de un polinomio en una sola variable es:

P (x) = an xn + an-1 xn-1 +?+ a2 x2 + a1 x + a0

Los elementos de los polinomios son:

  • Los coeficientes, o valores constantes ai, con i = 0, 1, 2, ..., n. El que multiplica a la variable elevada al mayor grado se denomina coeficiente principal (denotado por an), mientras que el que no contiene variable se llama término independiente (a0).
  • La variable x.
  • Los exponentes a los que se eleva la variable.

Los polinomios con sólo un término se llaman monomios; con dos, binomios; con tres, trinomios; etcétera. Se conoce por grado de un polinomio el mayor exponente al que se eleva la variable.

Suma y resta de polinomios

Dos monomios se dicen semejantes cuando tienen la misma variable y el mismo grado. La suma o resta de monomios semejantes produce un nuevo monomio semejante, cuyo coeficiente es igual a la suma o resta de los coeficientes de los monomios originales.

Análogamente, para sumar o restar polinomios de una misma variable se aplica el siguiente procedimiento:

  • Se ordenan de mayor a menor los términos de ambos polinomios, dejando huecos para los términos ausentes.
  • Se suman o restan los monomios semejantes.

La suma de polinomios cumple las propiedades interna (produce un nuevo polinomio), asociativa, conmutativa y de existencia de elemento neutro (el polinomio nulo) y opuesto (polinomio opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos los coeficientes del polinomio dado).

Producto de polinomios

Entre dos monomios de una misma variable puede definirse también la operación producto, que resulta en un nuevo monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y cuyo grado es la suma de los grados de los dos monomios originales. Así, si M1 (x) = a1 xn y M2 (x) = a2 xm, el producto M1 (x) × M2 (x) = (a1 × a2) × xn+m.

De esta forma, el producto de dos polinomios se define como la multiplicación de cada uno de los términos (monomios) del primer polinomio por todos los términos del segundo, sumando y agrupando después los términos resultantes.

El producto de polinomios verifica las propiedades interna (produce un nuevo polinomio), asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro (el polinomio unidad) y distributividad con respecto a la suma, es decir:

P(x) × [Q(x) + R(x)] = P(x) × Q(x) + P(x) × R(x).

Cociente de polinomios

La división o cociente entre dos monomios semejantes es un nuevo monomio cuyo coeficiente es la división entre los coeficientes y cuyo grado es la resta de los grados de los dos monomios originales. Para que este cociente sea una operación interna (es decir, para que el resultado sea otro monomio), el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el del divisor.

El cociente entre dos polinomios P (x) y Q (x), es otro polinomio C (x) que verifica:

P(x) = Q(x) × C(x) + R(x).

Siendo C(x) el polinomio cociente y R(x) el polinomio resto, de grado menor que Q (x).

Regla de Ruffini

Existe una forma abreviada sencilla de dividir polinomios, ideada en el siglo XVIII por el matemático italiano Paolo Ruffini. Este procedimiento, que se conoce por regla de Ruffini, se basa en el hecho de que al dividir un polinomio P (x) de grado n por un binomio del tipo (x - m), se obtiene un nuevo polinomio P? (x) de grado n - 1.

Según esta regla, para dividir el polinomio P (x) = 6x3 - 3x + 5 por el binomio x - 2, se procedería del modo siguiente:

  • 1. Se colocan en una fila los coeficientes del polinomio dividendo ordenado, escribiendo 0 cuando algún término esté ausente.

  • 2. Se coloca al margen el valor del término independiente del binomio, cambiado de signo.

  • 3. Se baja directamente el coeficiente de mayor grado.

  • 4. Se multiplica el término independiente del binomio por el primer coeficiente del polinomio y se suma el resultado al segundo.

  • 5. Se repite esta operación para todos los demás coeficientes.
  • 6. El último valor obtenido es el polinomio resto.

  • 7. Los otros valores obtenidos son los coeficientes del polinomio cociente.

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