Poliedros y figuras en el espacio

El cubo, los volúmenes prismáticos, el tetraedro y las pirámides han sido admirados desde antiguo por la perfección de su geometría y por su atractivo estético. Todos ellos son formas singulares de una familia general de formas en el espacio llamadas poliedros.

Elementos de los poliedros

Los poliedros son figuras geométricas cerradas en el espacio delimitadas por cuatro o más polígonos planos. En un poliedro se distinguen los siguientes elementos:

  • Las caras: cada uno de los polígonos que lo delimitan.
  • Las aristas: rectas en las que confluyen dos caras adyacentes.
  • Los vértices: puntos de intersección entre las aristas.
  • Los ángulos poliedros: formados por tres o más caras, con un vértice común.
  • Las diagonales: rectas trazadas entre dos vértices de distintas caras.

Según el número de caras, los poliedros se denominan tetraedros (4 caras), pentaedros (5), hexaedros (6), heptaedros (7), octaedros (8), dodecaedros (12), icosaedros (20), etcétera.

Sólo existen cinco poliedros regulares, cuyas caras son polígonos regulares e iguales: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro regulares. En los poliedros convexos se cumple que el número de vértices más el número de caras es igual al número de aristas más dos: V + C = A + 2. (Relación de Euler).

Ejemplos de poliedros. De izquierda a derecha: cubo, tetraedro, hexaedro no regular, dodecaedro y prisma oblicuo.

Prisma y ortoedro

El prisma es una clase especial de poliedro que está limitado por una superficie prismática cerrada, engendrada por una recta que se desplaza en paralelo con respecto a otra recta fija, y dos planos paralelos llamados bases. El prisma se dice recto cuando las aristas de sus caras laterales son perpendiculares a las bases, y oblicuo en caso contrario.

Un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares se llama regular. Un prisma cuyas bases son paralelogramos, recibe el nombre de paralelepípedo.

Por su parte, un ortoedro es un paralelepípedo cuyas bases son rectángulos. En un ortoedro, las caras son iguales dos a dos y las aristas lo son cuatro a cuatro; de este modo, todas sus diagonales son iguales y su valor se determina como:

donde a, b, c son las medidas de las aristas correspondientes a la altura, la anchura y la profundidad del ortoedro.

Pirámides

Se llama pirámide a todo poliedro que está limitado por un ángulo poliedro y por un plano que interseca a todas las aristas de dicho ángulo. Cuando el polígono que define la intersección del plano con las aristas es regular, la pirámide también se llama regular.

El tetraedro regular es un caso particular de pirámide regular, cuya base es un triángulo equilátero, de manera que todas sus aristas son iguales.

Volúmenes de prismas y pirámides

El volumen de los poliedros, definido como la medida del espacio que ocupa, se expresa comúnmente en función de las aristas, el área de la base y la altura, según los casos.

Volumen de diversos tipos de prismas.

Volumen de las pirámides y los troncos de pirámide.

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