Números reales y complejos

La unión de los números racionales y los irracionales conforma un conjunto denominado de los números reales. Así, este conjunto engloba como subconjuntos a los de los números racionales e irracionales.

El conjunto de los números reales

En el conjunto R de los números reales se definen corrientemente dos operaciones o leyes de composición, llamadas suma y producto, con respecto a las cuales verifica las propiedades expresadas en la siguiente tabla.

Tabla resumen de las operaciones realizadas con números reales, con sus propiedades
Propiedades Adición Producto
Conmutativa " a, b Î R, a + b = b + a " a, b Î R, a × b = b × a
Asociativa " a, b, c Î R,(a + b) + c = a + (b + c) " a, b, c Î R,(a × b) × c = a × (b × c)
Elemento neutro " a Î R, $ 0 Î R tal que a + 0 = 0 + a = a " a Î R $1 Î R tal que a × 1 = 1 × a = a
Elemento simétrico " a Î R, $ -a Î R tal que a + (-a) = (-a) + a = 0 " a Î R a ¹ 0 $-1 a Î R tal que a × a-1 = a-1× a = 1
Distributiva " a,b,c Î R, a × (b + c) = a × b + a × c

De este modo, el conjunto de los números reales tiene, con respecto a las operaciones de suma y producto, la estructura algebraica de cuerpo conmutativo.

Representación y ordenación de números reales

El conjunto R de los números reales se representa sobre una línea llamada recta real. Los números reales llenan completamente esta recta.

Representación gráfica del conjunto R.

En esta distribución, se dice que, dados dos números reales n y m, n es mayor o igual que m (n ³ m) si n - m es un número real positivo o cero. En virtud de ello, el de los números reales es un conjunto ordenado.

Las agrupaciones continuas (sin saltos) de puntos en la recta real (o de números en el conjunto R) se denominan intervalos. Los distintos intervalos que pueden definirse en la recta real se denotan según se indica en la siguiente tabla.

Notación y características de los intervalos de la recta real
Nombre Símbolo Significado
Intervalo abierto (n, m) o]n,m[ {x|n£x£m} números comprendidos entre n y m, con estos dos incluidos
Intervalo cerrado [n, m] {x|n£x£m} números comprendidos entre n y m, con estos dos incluidos
Intervalos semiabiertos ]n, m] {x|n£x<m} cerrado por la izquierda y abierto por la derecha
]n, m) {x|n£x<m} cerrado por la izquierda y abierto por la derecha
Otros intervalos (-¥, m) {x|x<m} números menores que m
(-¥, m] {x|x£m} números menores o iguales que m
(n, ¥) {x|x>n} números mayores que n
[n, ¥) {x|x³n} números mayores o iguales que n

Los números complejos

En la resolución de ecuaciones algebraicas cuadráticas (de segundo grado) o de orden superior, con frecuencia aparecen casos en que las soluciones contienen radicales de números negativos. Esta operación de radicación produce un resultado que no pertenece al conjunto de los números reales (en R no existen raíces de números negativos).

Las expresiones radicales de números negativos se denominan números imaginarios, que conforman un conjunto independiente de los reales.

De este modo, se ideó un nuevo conjunto que comprendería a los números reales y a los imaginarios, que se bautizó como el de los números complejos C. Según ello, pueden establecerse las siguientes relaciones de inclusión entre los conjuntos numéricos:

N Ì Z Ì Q Ì R Ì C.

Expresión de los números complejos

En esencia, un número complejo está formado por una parte real y una imaginaria. En el siglo XVIII, Leonhard Euler definió la unidad de los números imaginarios como un número tal que i2 = -1. Es decir, i se define como la raíz cuadrada de -1.

Según ello, la notación general de un número complejo es (a + bi), siendo a su parte real y b su parte imaginaria. Esta notación se conoce por como forma binómica del número.

Al tratarse de un par de elementos (a, b), todo número complejo es susceptible de representarse en un eje de coordenadas cartesianas, donde a sería la abscisa y b la ordenada. Esta manera de representación se denomina forma cartesiana.

Una tercera representación de los números complejos es la forma polar. Considerando la representación cartesiana del número como un vector, éste podría quedar completamente definido mediante dos cantidades:

  • Su módulo m, que equivale a:
  • Su argumento, que es el ángulo j tal que:

La representación en forma polar se indica como mj. Por ejemplo, la forma polar del número (1 + i) es (Ö2)45º.

Representación cartesiana de un número complejo.

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