Cantidades conmensurables e inconmensurables

Cuando se comparan entre sí dos cantidades, la segunda de las cuales se considera que es la unidad, puede producirse que:

• La primera cantidad contenga exactamente la unidad o alguna de sus partes (fracciones). En tal caso, la cantidad se dice que es conmensurable, y el número que la representa, racional (ya sea entero o fraccionario).
• La primera cantidad no contiene exactamente la unidad ni ninguna de sus partes, por pequeña que sea. Entonces, la cantidad es inconmensurable, y el número que la representa es irracional.

Los números irracionales pueden definirse como aquellos cuya expresión decimal contiene infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto de los números irracionales tiene infinitos elementos, algunos de los cuales son: Ö2 == 1,4142135623..., P = 3,1415926535..., e = 2,7182818285... (base de los logaritmos naturales o neperianos), el número áureo de las proporciones perfectas j = 1,618033989..., etcétera.

Potencias de base racional

Al elevar un número racional a = a₁ / a₂ a un exponente n, donde n es un número entero, se obtiene que: aⁿ = (a₁ / a₂)ⁿ = a₁ⁿ / a₂ⁿ, siendo a₁, a₂ Î Z y a₂ ¹ 0. Dados dos números racionales a, b Î Q y dos enteros m, n Î Z, se tiene que:

• a^-n = 1/aⁿ
• aⁿ × a^m = a^n+m, aⁿ/a^m = a^n-m
• (aⁿ)^m = a^n×m
• aⁿ × bⁿ = (a × b)ⁿ, aⁿ/bⁿ = (a/b)ⁿ

Exponentes de base racional

En sentido genérico, una base racional puede elevarse a un exponente también racional. Si dicho exponente corresponde al subconjunto de los números fraccionarios, se habla de operación de radicación, que, en su forma más simple, se expresa como:

El número n, un número natural mayor que 1, se llama índice de la raíz; a es el radicando y b es la raíz propiamente dicha. El símbolo Ö es el radical.

En sentido genérico, la operación de radicación se escribe como:

Radicales equivalentes

Dos expresiones radicales se dicen equivalentes cuando tienen las mismas raíces. Sobre este concepto es posible realizar dos tipos de operaciones útiles en el manejo de radicales:

• Simplificación, que consiste en dividir el índice y el exponente del radicando por un divisor común. Así, Cuando el índice y el exponente son primos entre sí, la raíz se dice irreducible.
• Reducción a índice común, basada en el cálculo del mínimo común múltiplo de todos los índices de una operación con raíces que permite englobar a varios radicandos bajo un mismo índice común.

Operaciones con radicales

En las expresiones con radicales es posible realizar diversas operaciones:

• Suma: sólo posible cuando los radicales son semejantes (es decir, tienen el mismo índice y el mismo radicando). Por ejemplo,
• Producto: definido como Si los dos radicales tuvieran índices diferentes, se calcularía el mínimo común múltiplo entre ambos y se reducirían ambos radicales a un índice común. Por ejemplo,
• Cociente: con las mismas salvedades que el producto.
• Potencia:
• Radicación: definido como

La relación entre la altura y la anchura de la fachada del Partenón de Atenas es igual al número áureo. Las proporciones áureas han sido utilizadas por artistas de todas las épocas, tanto en arquitectura como en pintura, escultura o fotografía.

Extracción y racionalización de un radical

Dentro de las operaciones con radicales, cabe distinguir entre dos tipos de manipulaciones interesantes. Por una parte, cuando en el radicando existen números que pueden expresarse como potencias de orden superior al índice de la raíz, ésta puede extraerse, según la fórmula:

donde m ³ n, c es el cociente de m/n y r el resto. Por ejemplo,

Por otra parte, cuando en una fracción existen radicales en el denominador, éstos pueden trasladarse al numerador en una operación llamada racionalización. Así, si el denominador es un radical de índice n, se tiene que:

, con n > m.

Los números irracionales aparecen en las construcciones geométricas más sencillas. Por ejemplo, en un cuadrado de lado igual a 1, la diagonal adopta como valor Ö2, un número irracional.