Matrices

El concepto de matriz se fraguó a lo largo de los siglos XVIII y XIX con el objetivo de sistematizar los métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con numerosas incógnitas. En la actualidad, la teoría de matrices se ha convertido en una poderosa herramienta al servicio de muchas disciplinas científicas, desde la física y las ciencias naturales hasta la economía.

Conceptos generales sobre matrices

En esencia, una matriz se define como un conjunto de números o expresiones numéricas que se ordenan como una tabla de filas y columnas. Cada una de las intersecciones de filas o columnas se denomina elemento de la matriz, y contiene un número o una expresión.

Por convenio, las matrices se representan genéricamente del siguiente modo:

En sentido genérico, los elementos de la matriz se simbolizan por aij, siendo i el número de fila y j el número de columna que ocupan. Las matrices también se representan por la notación A = (aij), con i = 1, 2, 3, ..., m, y j = 1, 2, 3, ..., n.

Una matriz formada por m filas y n columnas se dice que tiene orden o dimensión m x n. Dos matrices del mismo orden se consideran iguales cuando son iguales, dos a dos, los elementos que ocupan el mismo lugar.

Clases de matrices

En términos generales, una matriz tiene m filas y n columnas, siendo m ¹ n. En tal caso, la matriz se llama rectangular. Ahora bien, cuando el número de filas y el de columnas coinciden, la matriz es cuadrada, con dimensión n x n; en este caso, los elementos de la matriz de subíndices a11, a22, a33, ..., ann ocupan la llamada diagonal principal de la matriz. Esta diagonal adquiere importancia en la resolución de determinantes (ver t 16).

Una matriz cuadrada se denomina triangular cuando todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son nulos.

Una matriz se denomina diagonal cuando todos los elementos, excepto los de la diagonal principal, son cero.

Otro concepto importante en la teoría de matrices es el de matriz traspuesta. Dada una matriz A de orden m x n, su traspuesta, denotada por At, es otra matriz de dimensión n x m, donde se han intercambiado las filas de la primera matriz por columnas y las columnas, por filas.

Suma de matrices

Al sumar dos matrices de igual orden o dimensión se obtiene una nueva matriz cuyos elementos se calculan como la suma de los elementos de la misma fila y columna de las dos matrices, que actúan como sumandos.

Dadas dos matrices A = (aij) y B = (bij), con i = 1, 2, 3, ..., m y j = 1, 2, 3, ..., n, ambas de orden m x n, la matriz suma de las dos se obtendría de la forma siguiente:

Propiedades de la suma de matrices
Propiedad Expresión y significado
Conmutativa A + B = B + A.
Asociativa A + (B + C) = (A + B) + C.
Elemento neutro A + 0 = 0 + A = A, siendo 0 la matriz nula, aquella que, con el mismo orden que A, tiene todos sus elementos iguales a cero.
Elemento simétrico A + (-A) = (-A) + A = 0, donde la matriz (-A) se llama opuesta de la matriz A, y 0 corresponde a la matriz nula para la dimensión de A.

Producto y potencias con matrices

En el álgebra de matrices, además de la suma, se definen dos tipos de operaciones como sigue:

  • El producto de un número por una matriz, es igual a una nueva matriz, cada uno de cuyos elementos se corresponde con el de la matriz original multiplicado por el número constante.
  • El producto de dos matrices sólo es posible cuando tienen los órdenes «encadenados »; es decir, una matriz A = (aij) de orden m x n sólo puede multiplicarse por otra B = (bij) si la dimensión de ésta es n x p, de manera que la matriz producto resultante tiene un orden igual a m x p. La matriz resultante C = (cij) se calcula de forma que cada uno de sus términos cij es igual a la suma ordenada de los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B: primer elemento de la fija i de A por primer elemento de la columna j de B; más el segundo de la fila i por el segundo de la columna j, etcétera.

Como ampliación del concepto de producto, puede definirse la potencia enésima de una matriz como el producto de ésta por sí misma n veces. Para que una matriz pueda multiplicarse por sí misma tiene que ser cuadrada. Es decir:

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