Logaritmos

La invención de los logaritmos se debe al matemático escocés John Neper quien, a principios del siglo XVII, intentó idear un método que aliviara los complejos cálculos que debían realizarse en astronomía para resolver problemas trigonométricos. Esta idea pronto trascendió el ámbito de la pura aplicación práctica para convertirse en uno de los pilares de las matemáticas modernas.

Logaritmo de un número

Se define logaritmo en base a (donde a es un valor positivo y distinto de 1) de un número x positivo al exponente al que hay que elevar la base para obtener este número. El símbolo del logaritmo en base a es loga, por lo que entonces se escribe que:

loga x = b Û x = ab.

Los logaritmos de base 10, utilizados con mucha frecuencia, se llaman decimales; los que tienen como base el número e se denominan naturales o neperianos, y también pueden tener múltiples aplicaciones en ciencia.

Propiedades de los logaritmos

A partir de las propiedades de las potencias, se deducen diversas propiedades interesantes de los logaritmos en cualquier base. Estas propiedades se resumen en la tabla adjunta.

Propiedad Expresión simbólica
El logaritmo de la base es siempre igual a 1 loga a = 1
El logaritmo de 1 en cualquier base es 0 loga 1 = 0
El logaritmo de un producto es igual a la suma de logaritmos loga (x × y) = loga x + loga y
El logaritmo de un cociente es igual a la resta de logaritmos loga (x/y) = loga x - loga y
El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base (este enunciado engloba al logaritmo de una raíz, entendida como una potencia de exponente fraccionario) loga (x)p = p × loga x

Cambio de base entre logaritmos

Un mismo número tiene logaritmos diferentes según la base elegida. Ahora bien, basta conocer el logaritmo de un número en una base para determinar su valor en cualquier otra base, a partir de la siguiente propiedad de cambio de base:

Logaritmos decimales

Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales. Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base.

En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes complementarias:

  • La característica, que expresa el orden de magnitud de esta cantidad y tiene valores enteros.
  • La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su componente decimal.

Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.

  • Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores que 10 tienen característica 0.
  • Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores que 100 tienen característica 1.
  • Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que 1000 tienen característica 2, y así sucesivamente.
  • En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen característica negativa.

Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en potencias de 10 tienen igual mantisa. Por ejemplo:

mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) =?= mantisa (log 0,2) = = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) = ?

Logaritmos neperianos

Los logaritmos neperianos o naturales tienen como base el número e = 2,7182818285... Estos logaritmos se simbolizan por ln o L (por ejemplo, ln 2 o L 2).

La elección de una base aparentemente tan arbitraria responde a las singulares propiedades de la función exponencial ex (ver t35), de manera que los logaritmos neperianos (que deben su nombre a su inventor, John Neper), tienen aplicaciones en numerosísimos campos científicos, técnicos y sociales.

Para determinar valores de logaritmos neperianos se utilizan hoy en día calculadoras portátiles. Sin embargo, en el pasado era necesario recurrir al siguiente procedimiento:

  • Calcular el logaritmo decimal del número, con ayuda de una tabla de logaritmos.
  • Calcular el logaritmo neperiano por medio de un cambio de base, sabiendo que log e = 0,434294 ya que:

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