Noción de límite de una función

Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x®a⁺) y límite por la izquierda (x®a^-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

Propiedades de los límites

Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:

• El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.
• El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.
• El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.
• El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.
• El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.

Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:

Asíntotas verticales y horizontales

Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a a, se dice que su límite es infinito (+¥, si el crecimiento es en sentido positivo, y -¥, si lo es en sentido negativo). Análogamente, también es posible definir límites de una función cuando el valor de x tiende a +¥ o a -¥.

Entonces, se dice que una función f (x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es x = a, cuando al menos existe uno de los límites laterales de la función en el punto a y dicho límite es +¥ o -¥.

De igual forma, la función f (x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y == b, cuando existe al menos uno de los límites de la función en el caso de que x tienda a +¥ o -¥ y dicho límite sea b.

Asíntotas horizontales de una función.

Asíntotas verticales de una función.

Resolución de indeterminaciones

Para calcular el límite de una función complicada suelen aplicarse las propiedades generales de los límites. Sin embargo, en ocasiones no es posible recurrir simplemente a tales propiedades, por cuanto aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Se dice que hay una indeterminación cuando el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la componen.

Las más corrientes son:

• Infinito entre infinito (¥/¥): para resolverla, si se trata de funciones polinómicas, se procede a dividir el numerador y el denominador por el término de mayor grado; cuando las funciones presentan radicales, se multiplican el denominador y el numerador por el conjugado de la expresión que contiene al radical.
• Infinito menos infinito (¥ - ¥): si se trata de una diferencia de funciones, se realiza la operación de manera que se obtenga una expresión de cociente de una función por otra y se calcula el límite. Cuando aparecen radicales, se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la que contiene al radical.
• Cero dividido por cero (0/0): si se trata de funciones polinómicas, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los binomios iguales resultantes; en funciones con radicales, se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que contiene al radical.
• Cero por infinito (0 × ¥): si f(x) ® 0, y g(x) ® ¥, la expresión f(x) × g (x) se puede sustituir por f(x)/(1/g(x)), que es del tipo 0/0.
• Uno elevado a infinito (+¥) e infinito elevado a cero (¥⁰): se sustituye por el número e, mediante la siguiente fórmula: