La función cuadrática

Las relaciones entre las variables dependiente e independiente de una función no siempre siguen una forma de crecimiento lineal. Una modalidad común de estas relaciones es la familia de las llamadas funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una parábola.

Función y = x2

La función real de variable real en la que la variable dependiente varía con el valor del cuadrado de la variable independiente se denomina función cuadrática. La expresión general de la función cuadrática es la siguiente:

y = f (x) = ax2 + bx + c

siendo a, b y c valores constantes, llamados coeficientes de la función.

Interpretación geométrica

Por su naturaleza, las funciones cuadráticas son continuas, y se representan gráficamente mediante parábolas. Así, una función cuadrática y = ax2 + bx + c se corresponde con la ecuación de una parábola donde las abscisas de los puntos de intersección de la misma sobre el eje horizontal son las soluciones de la ecuación que resulta de igualar a cero dicha función, es decir:

La media aritmética de estas dos abscisas proporciona el valor de la abscisa del vértice de la parábola:

xv = -b/2a.

La forma más sencilla de función cuadrática, y = ax2, es una parábola cuyo vértice se encuentra en el origen de coordenadas, por lo que corresponde a una función simétrica con respecto al eje vertical.

Toda función cuadrática se puede escribir como y = a(x ? p)2 + q, cuya forma gráfica es idéntica a la de y = ax2, aunque desplazada p unidades en el eje horizontal y q en el eje vertical.

Representación de funciones cuadráticas simétricas con respecto al eje vertical.

Intersección entre recta y parábola

Para hallar los puntos de intersección entre una recta y una parábola, se ha de resolver el sistema formado por las ecuaciones representativas de estas dos entidades geométricas. En general, dicho sistema se expresaría como:

Por tanto, se trata de determinar los puntos comunes de una función lineal (la recta) y una función cuadrática (la parábola).

Este sistema de ecuaciones puede resolverse por medios algebraicos (por igualación y resolviendo la ecuación de segundo grado que resulta) o por medios gráficos (ver t8).

División del plano por funciones afines

Toda recta, entendida como el lugar geométrico de los puntos que se rigen por una función lineal o afín, divide a un plano en dos regiones, llamadas semiplanos, que visualmente pueden percibirse como superiores o inferiores a la recta.

Cada semiplano definido por una recta puede expresarse por medio de una inecuación lineal. Genéricamente, puede decirse que la recta y = ax + b divide al plano en los dos siguientes semiplanos:

  • El primer semiplano («superior») está formado por los puntos que cumplen la inecuación y > ax + b.
  • El segundo semiplano («inferior») se compone de los puntos que verifican la inecuación y < ax + b.

Este enfoque facilita la resolución gráfica de los sistemas de inecuaciones lineales por medio de su representación a modo de semiplanos limitados por funciones afines (rectas geométricas).

Cuando una inecuación lineal incluye el signo de igualdad (³ o £), el semiplano comprenderá a la recta que lo delimita. En caso de desigualdad estricta, los puntos de recta quedarán excluidos del semiplano.

Una recta divide al plano en una región «superior» y otra «inferior». En la imagen, el punto (2,8) está en el semiplano superior, y el punto (2,5),en el semiplano inferior.

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