Fundamentos de trigonometría

Los orígenes de la trigonometría se remontan a las primeras civilizaciones y culturas históricas. Los matemáticos babilonios y egipcios antiguos manejaban con soltura los conceptos sobre triángulos y sus relaciones, y los filósofos griegos compendiaron una amplia doctrina científica sobre trigonometría plana y esférica.

Razones trigonométricas

Para definir las razones trigonométricas se parte de un ángulo no recto dentro de un triángulo rectángulo. La abscisa x y la ordenada y del triángulo pueden tomar valores positivos o negativos, según se dibuje el triángulo por encima o por debajo del eje X o a la derecha o a la izquierda del eje Y.

Elementos de un triángulo rectángulo.

Las seis razones trigonométricas que pueden definirse para el ángulo a son:

  • Seno del ángulo (símbolo, sen), o cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Puede tomar valores entre -1 y +1; su inversa es la cosecante (cosec).
  • Coseno (cos), o cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa. El coseno de un ángulo está comprendido entre -1 y +1, y su inversa es la secante (sec).
  • Tangente (tg), o cociente entre el cateto opuesto y el contiguo. Su valor no está acotado, y oscila entre -¥ y +¥; su inversa es la cotangente (cotg).

    sen a = y/r; cos a = x/r; tg a = y/x.

Relación entre las razones trigonométricas

En virtud de las definiciones de las razones trigonométricas, es posible establecer las siguientes relaciones entre ellas:

  • La tangente de un ángulo se calcula como el cociente entre el seno y el coseno.
  • La suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es siempre igual a 1.

    sen2 a + cos2 a = 1

  • Entre las razones trigonométricas inversas pueden definirse las relaciones:

    1 + cotg2 a = cosec2 a, tg2 a + 1 = sec2 a

Las relaciones establecidas nos permiten, conocidas una de las razones trigonométricas de un ángulo y su posición en un cuadrante determinado, conocer las demás.

Sumas y diferencias de ángulos

Si se conocen las razones trigonométricas de dos ángulos a y b, es posible determinar las de los ángulos suma (a + b) y diferencia (a - b), del siguiente modo:

sen (a ± b) = sen a × cos b ± sen b × cos acos (a ± b) = cos a × cos b sen a × sen b

También pueden deducirse las razones del ángulo doble y el ángulo mitad:

Otras relaciones geométricas interesantes son las de la suma y resta de razones trigonométricas de ángulos distintos:

Teoremas del seno y del coseno

Dado un triángulo cualquiera de lados a, b, c y ángulos interiores A, B, C, se tiene que:

a2 = b2 + c2 - 2 b × c × cos A.

Esta expresión se conoce como teorema del coseno y sirve para calcular el valor del tercer lado de un triángulo cuando se conocen los otros dos y el del ángulo opuesto.

Por otra parte, el teorema del seno establece que en cualquier triángulo la proporción entre el valor de cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante. Es decir:

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