Funciones y sistemas de referencia

La idea de función proviene de la necesidad de expresar los fenómenos de la naturaleza mediante leyes abstractas que relacionen las magnitudes que intervienen en ellos, las cuales se han elaborado a partir de los datos extraídos de las observaciones cotidianas. Según las crónicas, el primero que utilizó el término «función» fue el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los fundadores del cálculo matemático moderno.

Sistemas cartesianos

En las descripciones matemáticas es muy habitual utilizar sistemas de referencia cartesianos ortogonales, que se definen en virtud de un conjunto de dos (en el plano) o tres (en el espacio) ejes perpendiculares, que se cortan en un punto común denominado origen.

En los sistemas cartesianos en el plano, los valores representados en el eje horizontal (denotado por X) se denominan abscisas, mientras que los que se representan en el eje vertical (llamado Y) son las ordenadas.

Correspondencias, aplicaciones y funciones

Sobre los ejes cartesianos planos se puede representar la relación entre dos conjuntos numéricos, de manera que los elementos del conjunto origen de la relación se indican en un eje (en general, el horizontal) y los del conjunto imagen, en el otro.

Las relaciones entre ambos conjuntos tienen particular interés cuando se identifican con una correspondencia, es decir, si es posible definir un conjunto de reglas o leyes de asociación mediante las cuales se obtengan todos o algunos de los elementos del conjunto imagen, a partir de todos o algunos de los componentes del conjunto origen.

Cuando todos los elementos del conjunto inicial tienen una y sólo una imagen en el final, la correspondencia se denomina aplicación.

Representación gráfica de una aplicación (a la izquierda) y una correspondencia que no es aplicación (a la derecha).

Si los elementos de los conjuntos origen e imagen son números, las aplicaciones se denominan preferiblemente funciones. De especial interés son las funciones reales de variable real, que manejan números reales como elementos de los conjuntos origen e imagen.

Una función suele representarse por el símbolo f, de manera que si R es el conjunto origen y también el imagen, una función real de variable real se denota como: f:R ® R, de manera que si x es un elemento origen, e y es un elemento imagen, tales que x, y Î R, se escribe que y = f (x). El elemento x se conoce por variable independiente de la función, mientras que y es la variable dependiente.

Funciones continuas

Una propiedad importante de las funciones es la continuidad. Aunque la definición estricta de esta característica se realiza con ayuda del concepto de límite (ver t39), es posible ofrecer también una idea intuitiva de la misma.

Desde un punto de vista gráfico, una función se denomina continua, en un intervalo de valores dado, cuando su trazo se puede completar a lo largo de ese intervalo sin levantar el lápiz del papel. En caso contrario, la función será discontinua.

De este modo, las funciones continuas se caracterizan porque un cambio suficientemente pequeño de la variable independiente x produce un cambio tan pequeño como se quiera en la variable dependiente y.

Por el contrario, las funciones discontinuas se caracterizan porque un cambio muy pequeño en la variable independiente x produce un cambio grande en la variable dependiente y.

Función lineal y función afín

Las relaciones funcionales entre dos variables que siguen una forma lineal, esto es, que pueden representarse por una recta, se clasifican en dos grandes categorías:

  • Funciones lineales: que son las que se representan por una recta que pasa por el origen del sistema de referencia. La expresión general de una función lineal es la siguiente:
    y = f (x) = mx, siendo m una constante
  • Funciones afines, representadas por rectas que no pasan por el origen, cuya ecuación genérica es:
    y = f (x) = mx + n, con m y n constantes y n ¹ 0

El valor de la constante m determina la pendiente de la recta, definida como la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje horizontal. Por su parte, n es el valor de corte (ordenada en el origen) con el eje vertical de la recta representativa de una función afín. De todo ello se deduce que:

  • Dos rectas con el mismo valor de m son paralelas (por ejemplo, y = 3x e y = 3x + 2).
  • Las rectas que obedecen a la ecuación x = k, siendo k una constante, son paralelas al eje Y (recta x = 0).
  • Las rectas de la forma y = k son paralelas al eje X (recta y = 0).
  • La recta y = x es la bhsectriz del primer y el tercer cuadrante.
  • La recta y = -x biseca a los cuadrantes segundo y cuarto.

Por su naturaleza, las funciones lineales y afines son continuas en todo el conjunto de los números reales.

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