Funciones polinómicas

Las aplicaciones definidas entre conjuntos numéricos que responden a una forma polinómica se denominan funciones polinómicas. Estas funciones, que son continuas y derivables, constituyen una de las familias más comunes en la representación de los fenómenos naturales y se utilizan profusamente en los desarrollos algebraicos.

Suma y producto de funciones polinómicas

Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:

  • Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x) que corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los polinomios representativos de f (x) y g (x).
  • Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar todos los coeficientes de f (x) por l.
  • Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x), cuyo polinomio representativo resulta del producto de los polinomios que definen f (x) y g (x).
Operación en funciones polinómicas
Propiedades Suma Producto
Conmutativa f(x) + g(x) = g(x) + f(x) f(x) × g(x) = g(x) × f(x)
Asociativa [f(x) + g(x)] + h(x) =f(x) + [g(x) + h(x)] f(x) × [g(x) × h(x)] =[f(x) × g(x)] × h(x)
E. neutro f(x) + N(x) = N(x) + f(x) = f(x),siendo N (x) = 0 f(x)× I(x) = I(x)× f(x) = f(x),siendo I(x) = 1
E. simétrico f(x) + [-f(x)] = [-f(x)] + f(x) = 0 No se cumple
Distributiva f(x) × [g(x) + h(x)] = f(x) × g(x) + f(x) × h(x)

Composición de funciones polinómicas

Dado un número cualquiera x del dominio de dos funciones polinómicas f (x) y g (x), se define composición de ambas funciones como una función denotada por (g ° f) (x) que resulta de aplicar primero f sobre x y después g sobre el resultado obtenido. Es decir:

Por ejemplo, si se definen f (x) = x + 1, y g (x) = x2, la composición de ambas funciones (g º f) (x) se obtiene como:

Función polinómica inversa

De la definición de composición de funciones se deduce el concepto de función inversa de una dada. Si f (x) es la función original, su inversa se denota por f -1 (x) y define como aquella función que deshace lo que ha hecho la primera. Así, por ejemplo, si f (a) = b, entonces f -1 (b) = a.

Las funciones inversas verifican siempre que, al componerse con su función original, producen la función identidad:

En sentido geométrico, las funciones inversas mutuamente son siempre simétricas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Interpolación lineal

Cuando se conoce la ley de asociación que relaciona a dos series determinadas de valores, y dicha ley responde a un modelo de aplicación, es posible definir la función que produce el valor exacto del elemento imagen para cada elemento origen considerado.

No obstante, esta situación ideal no siempre se refleja en la realidad cuando se manejan relaciones entre series de valores. Al estudiar empíricamente un fenómeno, se obtiene un conjunto de datos limitado, que no siempre permite inferir la expresión de una función matemática que explique su comportamiento. En tales situaciones, para conocer cómo se comportaría la variable dependiente para un valor dado de la variable independiente se suele recurrir a un proceso de interpolación.

Se define interpolación como el procedimiento que permite conocer de forma aproximada el valor que toma una función desconocida a partir de un conjunto de datos observados.

lustración gráfica del método de interpolación lineal.

El método más corriente de este tipo es el de interpolación lineal, que considera que:

  • Las variables independiente y dependiente guardan entre sí una relación lineal.
  • El error cometido al aplicar la interpolación suponiendo que la relación es lineal es muy pequeño.

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