Familias de triángulos

Se llama triángulo a un polígono de tres lados. Por tanto, el triángulo es la figura geométrica cerrada más simple que existe, y se distingue por poseer tres ángulos interiores y carecer de diagonales. La confluencia o intersección entre cada dos lados del triángulo se llama vértice.

Se han propuesto varias clasificaciones para los triángulos:

• Según la longitud de sus lados, se distingue entre triángulos equiláteros, con los tres lados iguales; isósceles, con dos lados iguales y uno desigual, y escalenos, con los tres lados distintos.
• Atendiendo a sus ángulos interiores, pueden ser acutángulos, cuando los tres ángulos son agudos; rectángulos, si poseen un ángulo recto (90º), y obtusángulos, cuando alguno de los ángulos es obtuso (mayor de 90º).

Los triángulos rectángulos constituyen una familia geométrica de especial interés, ya que sirven de base para la definición de las razones y las funciones trigonométricas. En los triángulos rectángulos, se llama hipotenusa al lado opuesto al ángulo recto, y catetos a los otros dos lados.

Clases de triángulos.

Propiedades de los triángulos

Todo triángulo verifica un conjunto de propiedades geométricas esenciales muy interesantes:

• Cualquiera de sus lados es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
• Los tres ángulos interiores de un triángulo suman siempre un ángulo llano (180º). Por tanto, los triángulos equiláteros tienen tres lados iguales y tres ángulos iguales, de un valor de 60º.
• El ángulo mayor se opone al lado más largo del triángulo, y al contrario. Asimismo, si dos lados son iguales, sus ángulos interiores opuestos son también iguales, y viceversa. Así, por ejemplo, los triángulos equiláteros son regulares.

Elementos de un triángulo

Además de los lados y los ángulos interiores, en un triángulo pueden definirse otros elementos de interés desde el punto de vista de la geometría.

• Se llama altura a cada una de las perpendiculares trazadas desde un lado al vértice opuesto. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto denominado ortocentro.
• Las mediatrices de un triángulo son cada una de las perpendiculares de sus lados desde su punto medio. La intersección de las tres mediatrices de un triángulo se conoce por circuncentro (que es, además, el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo).
• Se denomina mediana de un triángulo a cada una de las rectas trazadas desde el punto medio de un lado al vértice opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o, también, centro de gravedad del triángulo.
• Las bisectrices son las rectas que dividen por la mitad cada uno de los ángulos del triángulo. Las tres bisectrices de un triángulo intersecan en un punto denominado incentro (que coincide con el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo).

Triangulaciones

Una de las razones que explica el interés de la figura del triángulo en geometría es posibilidad de describir cualquier polígono convexo como una combinación de triángulos. Esta técnica, llamada triangulación, permite establecer relaciones entre los elementos de los polígonos, así como facilitar el cálculo de sus áreas y otras propiedades geométricas.

Para triangular un polígono convexo, basta con elegir uno de sus vértices y trazar desde él todas las diagonales a los vértices opuestos. Otro procedimiento válido de triangulación consiste en fijar uno o varios puntos interiores del polígono y unirlos mediante rectas con cada uno de los vértices.

Ejemplos de triangulaciones posibles de un mismo pentágono.

En los polígonos convexos se cumple una propiedad general: la suma de los ángulos interiores del polígono es siempre igual a tantos ángulos llanos (180º) como lados tiene el polígono menos 2.

Ilustración de la propiedad de los ángulos interiores de un polígono.