Ecuaciones cuadráticas

Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax² + bx + c = 0, siendo a ¹ 0. El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente.

• Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa.
• Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.

Resolución y discusión de ecuaciones cuadráticas

En el planteamiento de la resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita pueden darse varios casos:

• Si la ecuación es incompleta sin coeficiente lineal ni término independiente (ax² = 0), la solución es x = 0 (doble).
• Cuando es incompleta sin coeficiente lineal (ax² + c = 0), las raíces son
• Cuando es incompleta sin término independiente (ax² + bx = 0), tiene dos raíces: x₁ = 0, y x₂ = -b/a.
• Una ecuación completa tiene dos raíces, dadas por la fórmula:
  

El valor b² - 4ac se llama discriminante, y de su estudio se deduce que si es mayor que cero, la ecuación tiene dos raíces reales distintas; si es igual a cero, existe una única solución doble dada por x = -b/2a, y si es menor que cero, las soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos (no son reales).

Relación entre las raíces y los coeficientes

Del estudio comparado de las raíces y los coeficientes de una ecuación de segundo grado con una incógnita se extraen algunas conclusiones interesantes:

• La suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente lineal cambiado de signo dividido por el coeficiente principal: x₁ + x₂ = -b/a.
• El producto de las raíces es igual al término independiente dividido por el coeficiente principal: x₁ × x₂ = c/a.
• Si se conocen la suma s = x₁ + x₂ y el producto p = x₁ × x₂ de las raíces de la ecuación, se tiene que: x² - sx + p = 0.
• Conociendo la diferencia d = x₁ - x₂ y el producto p = x₁ × x₂ de las raíces, se deduce que:
• Sabiendo el valor de las raíces x₁ y x₂, la ecuación se puede expresar como un producto de binomios: (x - x₁) (x - x₂) = 0 (ecuación factorial).

Ecuaciones bicuadradas

Las técnicas de resolución de ecuaciones de segundo grado pueden aplicarse también a las llamadas ecuaciones bicuadradas. Estas ecuaciones tienen como forma general:

ax⁴ + bx² + c = 0.

Al ser de orden 4, las ecuaciones bicuadradas tienen cuatro raíces o soluciones. Se resuelven según un sencillo método:

• Se sustituye y = x², con lo que la ecuación se reduce a ay² + by + c = 0.
• Se obtienen las raíces y₁ e y₂ de esta ecuación de segundo grado.
• Se calculan las cuatro raíces de x como

Según los valores obtenidos para y₁ e y₂ en la resolución de la ecuación de segundo grado intermedia, pueden darse varios casos:

• Si y₁ > 0 e y₂ > 0, la ecuación bicuadrada tiene cuatro soluciones reales.
• Cuando y₁ > 0 e y₂ < 0, o bien y₁ < 0 e y₂ > 0, la ecuación bicuadrada tiene dos soluciones reales y dos complejas.
• Si y₁ < 0 e y₂ < 0, la ecuación bicuadrada no tiene soluciones reales (sus cuatro soluciones pertenecen al conjunto de los números complejos).

Ecuaciones irracionales

Semejantes a las ecuaciones cuadráticas son las llamadas ecuaciones irracionales, aquellas en que la incógnita aparece, en algún término, dentro de un signo radical Ö. La forma general de una ecuación irracional es la siguiente:

Para resolver estas ecuaciones, se elevan los dos miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical.

Un caso simplificado de este tipo de ecuaciones se obtiene cuando sólo existen raíces cuadradas en uno o ambos miembros de la ecuación. El procedimiento general de resolución de las mismas consiste en:

• Aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz cuadrada.
• Elevar al cuadrado ambos miembros para eliminar la raíz. Después de simplificar la ecuación resultante, se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita.
• Se procede a resolver esta ecuación de segundo grado, con arreglo a los métodos habituales.
• Al haberse elevado la ecuación al cuadrado, se ha introducido una solución «falsa». Las dos raíces obtenidas de la ecuación de segundo grado se han de comprobar en la ecuación irracional original; se descubrirá entonces que sólo una de ellas cumple la igualdad de la ecuación. Ésta será su única solución.