Igualdades, identidades y ecuaciones

Se llama expresión algebraica a una combinación de números y letras ligados por los signos de las operaciones del cálculo. Al igualar dos expresiones algebraicas, se obtiene una igualdad.

Una igualdad de expresiones algebraicas se denomina ecuación cuando sólo se cumple para determinados valores de la variable o variables (soluciones de la ecuación), e identidad si se cumple para todo valor de la variable o variables (incógnitas) que contiene. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

Epigrama del siglo V o VI d.C. propuesto a modo de ecuación por un discípulo de Diofanto para explicar datos de la vida de este sabio griego:

Clases de ecuaciones

Las ecuaciones algebraicas se clasifican según distintos criterios:

• Según el número de incógnitas: Ecuaciones de una incógnita, de dos, de tres, ?, de n incógnitas.
• Según el término de mayor grado: de primer grado (lineales), segundo grado (cuadráticas), tercer grado (cúbicas), ? de grado n.
• Según la forma de presentación de las variables: enteras, cuando no existe ninguna incógnita en el denominador; fraccionarias, con incógnitas en algún denominador; racionales, si las incógnitas no aparecen dentro de raíces cuadradas, cúbicas, etcétera, e irracionales, si las incógnitas se presentan dentro de alguna de estas raíces.

Propiedades de las igualdades

Para la resolución de ecuaciones algebraicas es preciso tener en cuenta las propiedades elementales de las igualdades:

• Cuando se suma o resta un mismo número a los dos miembros de una ecuación se obtiene una ecuación equivalente.
• Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen globalmente por un mismo número, el resultado es también una ecuación equivalente. Cuando se divida tiene que ser por un número distinto de cero.

Estas propiedades suelen utilizarse para transponer términos, mediante dos técnicas complementarias:

• Sumar en ambos miembros de una ecuación el valor opuesto (cambiado de signo) de un término que se quiera transponer de un miembro a otro.
• Multiplicar ambos miembros por el inverso del término que se quiera transponer.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

La resolución de problemas algebraicos se basa en el concepto de ecuaciones equivalentes. Esta idea tiene particular aplicación en el caso de las ecuaciones lineales o de primer grado en las que sólo existe una incógnita (normalmente denotada por x), siempre en el numerador de los términos y elevada al grado 1. Un ejemplo de ecuación de primer grado, con una incógnita sería 3x + 5 = 4 × (1 - x) ++ 2x.

Para resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita, se emplea un procedimiento genérico que se ilustra en el ejemplo adjunto:

Para resolverla se aplican los siguientes pasos:

• 1. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que aparezcan (en el ejemplo, sería 12). Entonces, se obtiene: 9x + 48 = 48 (1 - x) + 16x
• 2. Se eliminan los paréntesis, con lo que queda: 9x + 48 = 48 - 48x + 16x
• 3. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un miembro y los que no la tengan en el otro: 9x + 48x - 16x = 48 - 48
• 4. Se simplifican los dos miembros, efectuando las operaciones necesarias: 41x = 0
• 5. Se despeja la incógnita: x = 0
• 6. Se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la ecuación inicial.

Inecuaciones

Paralelamente a los conceptos de igualdad y ecuación pueden definirse los de desigualdad e inecuación. Una desigualdad resulta de la comparación entre dos expresiones algebraicas separadas por los símbolos menor (<), mayor (>), menor o igual (£) o mayor o igual (³). El resultado de esta desigualdad es una inecuación.

Resolver una inecuación es hallar el valor o conjunto de valores (raíces) que la verifican, de manera que distintas inecuaciones con iguales soluciones se dicen equivalentes. Un ejemplo de inecuación podría ser 3x + 5 ³ 4 × (1 - x) + 2x.

Propiedades de las desigualdades

Para resolver inecuaciones se aplican las siguientes propiedades de las desigualdades:

• Cuando se suma o resta un mismo término en ambos miembros de una inecuación se obtiene una inecuación equivalente.
• Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número o cantidad positivos, la inecuación resultante es equivalente; si este número o cantidad son negativos, la inecuación resultante es también equivalente, pero ha de invertirse el signo de la desigualdad.

Estas propiedades se utilizan, al igual que en las ecuaciones, para transponer términos y obtener las raíces o soluciones.