Distribución normal

Entre las distribuciones probabilísticas de variable continua, la más ampliamente utilizada es la llamada distribución normal, cuya representación gráfica tiene una forma muy conocida en el ámbito de la estadística y las ciencias naturales: la campana de Gauss.

Concepto y función de probabilidad

Dado un experimento de variable aleatoria continua X, se llama distribución normal a aquella que queda perfectamente descrita por su media aritmética y su desviación típica s. Las distribuciones normales, también llamadas gaussianas, se denotan por la expresión N (, s).

La gráfica de una distribución normal es la conocida campana de Gauss.

La función de densidad de la distribución normal sigue la ecuación que determina la conocida campana de Gauss, cuya expresión matemática es la siguiente:

Media y desviación típica

Una función de densidad asociada a una distribución normal se caracteriza por dos parámetros complementarios:

  • La media , que corresponde al punto en el que la función de distribución alcanza un máximo.
  • La desviación típica s, que señala la anchura de la distribución.

La función que describe una distribución normal presenta puntos de inflexión en las abscisas: - s y + s, donde se modifica la concavidad de la curva. Finalmente, en los valores de la variable estadística que tienden a -¥ y +¥, la función tiende a cero.

Tipificación de la variable

El cálculo de las probabilidades asociadas a una distribución normal por medio de integrales resulta, en general, complejo. Por ello, suele utilizarse una función de distribución de apoyo cuya media es 0 y cuya desviación típica es la unidad.Tal función se denomina distribución normal tipificada, y se expresada como N (0,1).

Se llama tipificación a la operación consistente en cambiar de una variable aleatoria X a otra variable Z de distribución tipificada, por medio de la expresión siguiente:

Tabla de tipificación

La distribución normal tipificada tiene por ecuación de su función de densidad:

Para determinar la probabilidad de que esta función sea menor que un valor dado a, se utiliza un método aproximativo y una tabla de tipificación muy conocida.

Fragmento de la tabla de tipificación N (0,1).

La distribución normal como aproximación de la binomial

Según demostró Abraham de Moivre (1667-1754), las distribuciones binomiales de variable discreta pueden aproximarse a distribuciones normales siempre que el producto np ³ 5 (ver t55). La equivalencia establecida sería la siguiente:

Ejemplo gráfico de aproximación de una distribución binomial mediante una normal. Como se aprecia, la exactitud de la aproximación aumenta conforme se incrementa el número de experimentos (n).

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