Distribución muestral

A partir de las muestras seleccionadas de una población pueden construirse variables aleatorias alternativas, de cuyo análisis se desprenden interesantes propiedades estadísticas. Las dos formas más comunes de estas variables corresponden a las distribuciones muestrales de las medias y de las proporciones.

Distribución muestral de las medias

Dada una población constituida por un número n de elementos, cuya media aritmética es m y donde la desviación típica viene dada s, pueden formarse n2 muestras con reemplazamiento distintas, formadas por dos elementos de la población.

Para cada una de estas muestras es posible una media muestral, que denotaremos con el símbolo . Un ejemplo de la tabla de muestras de tamaño 2, tomada de la población {1, 3, 5}, con sus medias aritméticas reflejadas, sería:

A partir de la variable estadística original x de la población se puede construir una nueva variable estadística , que tendría como valores las medias de las muestras tomadas de la población. La media aritmética de esta distribución muestral de las medias se denota por , y su desviación típica por .

Parámetros de la distribución muestral de las medias de tamaño 2

Establecida una distribución muestral de las medias de tamaño 2, su esperanza matemática adopta el valor siguiente:

siendo m la media aritmética de la población, la media aritmética de cada muestra, la media aritmética de todas las medias, E [x] la esperanza matemática de la variable aleatoria x (para la población) y E [ ] la esperanza matemática de la variable aleatoria (para la distribución muestral de las medias).

Por su parte, los valores de la varianza y la desviación típica de esta distribución muestral de tamaño 2 son:

donde s es la desviación típica de la población, la desviación típica de la distribución muestral, V [x] la varianza de la variable x (población) y V [] la varianza de la variable (distribución muestral de las medias).

Distribución muestral de las medias de tamaño n

En una distribución muestral de las medias, la variable aleatoria media muestral sigue una ley normal descrita como N (m,s/Ön).

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las medias de tamaño n:

Distribución muestral de las proporciones

Sea una población formada por n elementos, de los cuales algunos poseen una determinada característica y otros no (llamaremos p a la proporción de los elementos que poseen la característica, y q = 1 - p a la de los restantes elementos). Entonces, es posible extraer muestras de la población de manera que a cada una se asocie como valor la proporción de la característica analizada.

Por ejemplo, en la población {1, 2, 3}, la característica par tiene un valor p = 1 / 3, mientras que la impar es q = 2 / 3. Mediante la tabla siguiente de muestras se construye una nueva distribución muestral de las proporciones.

Muestra 1,1 1,2 1,3 2,1 2,2 2,3 3,1 3,2 3,3
Proporción f/n 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0 0,5 0

Parámetros estadísticos de una distribución muestral de las proporciones de tamaño n:

Una distribución muestral de las proporciones se comporta como una distribución normal descrita por los parámetros N .

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