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Distribución binomial

Una forma corriente de descripción de los experimentos aleatorios equiprobables con variable discreta es la distribución binomial. En este tipo de distribución se estudia la probabilidad de que se produzca un cierto resultado, que se describe por medio de dos parámetros: el número de repeticiones realizadas del experimento y la probabilidad individual del suceso aleatorio que se persigue como resultado.

Condiciones para una distribución binomial

Una distribución se denomina binomial cuando se cumplen las condiciones siguientes:

  • El experimento aleatorio de base se repite n veces, y todos los resultados obtenidos son mutuamente independientes.
  • En cada prueba se tiene una misma probabilidad de éxito (suceso A), expresada por p. Asimismo, existe en cada prueba una misma probabilidad de fracaso (suceso ), que es igual a q = 1 - p.
  • El objetivo de la distribución binomial es conocer la probabilidad de que se produzca un cierto número de éxitos. La variable aleatoria X, que indica el número de veces que aparece el suceso A (éxito), es discreta, y su recorrido es el conjunto {0, 1, 2, 3, ..., n}.

La distribución binomial se expresa como B (n, p), siendo n el número de veces que se repite el experimento y p la probabilidad de que se produzca un éxito.

Ejemplo de experimento aleatorio descrito por una distribución binomial: al tirar un dado cuatro veces, ¿cuántas veces saldrá el número 6? Este suceso es el «éxito» del experimento.

Función de probabilidad

La distribución binomial se caracteriza porque su función de probabilidad viene dada por la expresión siguiente:

donde r es el número de éxitos asociado al experimento aleatorio.

En una distribución binomial B (n, p) se verifica que:
  • La probabilidad de que aparezca al menos un éxito en las n repeticiones es igual a:

  • La probabilidad de que se produzca un éxito como máximo en las n repeticiones se determina como:

Esperanza, varianza y desviación típica

En una distribución binomial denotada por B (n, p), donde n es el número de repeticiones del experimento y p la probabilidad de que se produzca un cierto suceso (éxito), la esperanza matemática de la variable aleatoria X viene dada por la expresión siguiente:

Análogamente, la varianza de la variable aleatoria X, al ser ésta de tipo discreto, se calcula como:

siendo q la probabilidad de no éxito (fracaso). La desviación típica es, como de costumbre, la raíz cuadrada de la varianza:

Ajuste de una distribución binomial

En ocasiones, el cálculo de la probabilidad de una distribución binomial del tipo B (n, p) resulta muy complicado. Según demostró el matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754), la probabilidad de una distribución binomial B (n, p) puede aproximarse por medio de una distribución normal (ver t56) de tipo N (np, ), que resulta particularmente adecuada cuando:

  • El valor de n es muy elevado.
  • Tanto np y nq son ³ que 5. (Obsérvese que cuanto mayor es n y más se aproxima p a 0,5 tanto mejor es la aproximación realizada).

Para transformar una distribución binomial (de variable discreta) en una normal (de variable continua), es preciso proceder a la siguiente transformación:

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