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Derivada de una función
Variación de una función
Dada una función f (x), se define variación de la función entre dos puntos de su dominio x1 y x2, siendo x1 < x2, a la diferencia f (x2) - f (x1). Cuando esta diferencia es positiva, la función es creciente en el punto; si es negativa, la función es decreciente.
Relacionada con este concepto, se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:
El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)).
Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño.Derivada de una función en un punto
Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:
Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:
Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.
Interpretación geométrica de la derivada
La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:
expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.
Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.
Derivadas laterales
Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.
Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a+), al límite siguiente:
Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a-), se define como el siguiente límite:
Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.
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