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Derivabilidad y continuidad
Derivabilidad
La noción de derivada se asocia a la de límite. Por tanto, una derivada puede no existir por las mismas causas que un límite (ver t39). Cuando para una función en un punto existen derivadas por la derecha y por la izquierda y ambas coinciden, la función se denomina derivable en ese punto. De ello se deduce que existen dos clases de funciones claramente no derivables:
- Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un salto o una discontinuidad.
- Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.
Ejemplo de función no derivable en m por la existencia de una discontinuidad, ni en n porque no coinciden las derivadas laterales.
Funciones continuas y derivables
Las nociones de derivabilidad y continuidad de una función están estrechamente relacionadas. Los principios que relacionan ambos conceptos son los siguientes:
- Una función f (x) derivable en un punto x = a, o en un intervalo (a, b), es necesariamente continua en dicho punto o intervalo.
- Una función f (x) continua en un punto x = a o un intervalo (a, b) puede ser o no derivable en dicho punto o intervalo. Por ejemplo, una función con un punto anguloso es continua en él, pero no puede derivarse en el mismo (existen derivadas por la derecha y por la izquierda, pero son diferentes).
Ejemplo de función no derivable en x = 1 por la presencia de un punto anguloso.
Así pues, la noción de derivabilidad es más restringida que la de continuidad, ya que todas las funciones derivables son continuas, pero no a la inversa.
La función derivada
Dada una función f (x) continua y derivable en un dominio de definición dado, es posible definir una nueva función, llamada derivada y denotada por f ¿ (x), tal que a cada valor de x perteneciente al dominio de la función le asocia la derivada de f (x) en dicho punto.
Esta definición puede aplicarse a derivadas sucesivas. La derivada de una función es una nueva función definida para un dominio dado, de manera que si es continua y derivable en dicho dominio, es posible determinar una nueva función derivada de la misma, que será a su vez la función derivada segunda de f (x).
Las funciones derivadas sucesivas de una función f (x) se denotan del modo siguiente:- Derivada primera: f ¿ (x).
- Derivada segunda: f ¿ (x).
- Derivada tercera: f ¿¿ (x).
- Derivada cuarta: f IV (x), etcétera.
Rectas tangente y normal
El empleo de derivadas de una función ofrece un medio sencillo para determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva representativa de una función en un punto dado.
Dada una función f (x) continua y derivable en un punto x = a, la ecuación de la recta tangente a dicha función en el punto a obedece a la siguiente ecuación:
Análogamente, la recta normal a la función en el punto sigue la ecuación:
Rectas tangente y normal a una función en un punto.
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