Combinatoria

Numerosos fenómenos aleatorios son en realidad de tipo combinatorio, ya que se producen por combinación (selección o agrupación) de los elementos que componen un conjunto finito dado. Un ejemplo de problema combinatorio sería determinar cuántas jugadas de póquer distintas existen en una baraja completa de 52 cartas. La combinatoria analiza los fenómenos de este tipo según principios y fórmulas específicos de tipo no probabilístico.

Agrupaciones en combinatoria

Dado un conjunto de m elementos, existen tres formas posibles de agruparlos y seleccionarlos:

  • Considerando distinto cada grupo en el que exista alguna diferencia de número (contenido) o de orden. Las agrupaciones de esta clase se llaman variaciones.
  • Teniendo en cuenta sólo grupos en los que intervengan siempre los m elementos, aunque en distinto orden de colocación (permutaciones).
  • Interpretando como grupos distintos sólo a aquellos que tengan algún elemento diferente, sea cual sea su orden (combinaciones).

Cuando en cada uno de los grupos formados los elementos aparecen una sola vez, las agrupaciones se denominan ordinarias o sin repetición; en cambio, si en cada grupo puede aparecer un elemento varias veces, se habla de agrupaciones con repetición, ya sean variaciones, permutaciones o combinaciones.

Variaciones

Se llaman variaciones ordinarias (o variaciones sin repetición) de los n elementos de un conjunto tomados en grupos de r (siendo r £ n) todas las agrupaciones que se pueden formar de r elementos que se diferencien por el contenido de los elementos o por su orden de colocación.

La fórmula para determinar el número de variaciones ordinarias distintas susceptibles de formarse en un grupo de n elementos tomados de r en r es la siguiente:

Diagrama en árbol que muestra las variaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.

Permutaciones

El caso particular de variaciones de n elementos tomados en grupos de r, en el que n = r se denomina permutación. Cada agrupación difiere de las restantes sólo en el orden de colocación de los elementos, y en cada grupo intervienen todos los elementos del conjunto.

Diagrama en árbol que muestra las permutaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C).

El número de permutaciones ordinarias formadas con n elementos viene dado por:

Pn = n (n - 1) (n - 2) ... 1 = n!

Combinaciones

Las agrupaciones combinatorias denominadas combinaciones son las que se obtienen al seleccionar de un conjunto de n elementos grupos de r, de tal forma que cada grupo es diferente de los demás si, y sólo si, contiene algún elemento diferente, sea cual sea su orden de colocación en el grupo.

El número de combinaciones ordinarias (sin repetición) que se pueden formar con n elementos tomados de r en r se calcula a partir de la siguiente fórmula:

La expresión se lee «n sobre r» y se denomina número combinatorio.

El número de combinaciones de n elementos en grupos de r es igual al de variaciones de n en grupos de r dividido por el número de permutaciones de los r elementos de cada grupo. Es decir:

Diagrama en árbol que muestra las combinaciones ordinarias (sin repetición) que pueden formarse con los elementos (A, B, C, D) tomados de dos en dos.

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