Rotación de sólidos. Momento angular y momento de inercia

Una de las partes clásicas de la mecánica es el estudio de los movimientos de rotación, en particular, el análisis del comportamiento de los sólidos rígidos sometidos a giros y desplazamientos. En estos problemas se aplican los principios de la mecánica de Newton, y adquieren especial relevancia conceptos y magnitudes físicas como el momento angular y el momento de inercia, que es característico de cada sólido.

Dinámica de rotación

Se llama rotación al movimiento de un cuerpo con respecto a un eje de giro interior o externo al mismo. Normalmente, en la rotación de los cuerpos actúan diversos tipos de fuerzas (de arrastre, centrales, de rozamiento) que determinan los grados de movimiento (libertad) y las limitaciones al mismo, llamadas ligaduras.

En el estudio de la rotación se maneja como magnitud fundamental el momento angular. Para un sistema de partículas, y con respecto a un origen de referencia, el momento angular total LW se define como la suma de los momentos angulares de cada partícula para dicho punto. Es decir:

siendo el vector de posición de cada partícula, mi su masa y vi su velocidad.

La variación del momento angular con respecto al tiempo se conoce por momento total de las fuerzas del sistema de partículas:

Rotación de sólidos rígidos

Si en un cuerpo extenso se considera que las partículas que lo constituyen conservan en todo momento posiciones relativas fijas, el sistema resultante se denomina sólido rígido. En este sistema la velocidad angular de todas sus partículas es la misma, con independencia del eje de giro.

Momento angular de un sólido rígido

Como la velocidad angular de giro de un sólido rígido es idéntica para todas sus partículas constituyentes, el momento angular del sólido vendrá dado por la expresión:

donde w es la velocidad angular y el vector de posición de la partícula i con respecto al eje de giro. Esta expresión se puede desarrollar para convertirse en la siguiente (donde hi es la altura de cada partícula con respecto al origen):

El primer miembro de esta expresión es la componente longitudinal del momento angular (simbolizada por L||), mientras que el segundo es su componente transversal (L^).

Momento de inercia

Por definición, el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido se denomina momento de inercia I, y se expresa como:

El momento de inercia no depende de las fuerzas que intervienen en un sistema físico, sino tan sólo de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.

Teorema de Steiner

En la determinación de los momentos de inercia de los cuerpos se aplica con frecuencia el llamado teorema de Steiner, que establece una relación entre el momento de inercia I¿ con respecto a un eje arbitrario y el momento de inercia I, medido según un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masas. Matemáticamente, el teorema de Steiner se expresa como:

donde a es el módulo del vector que va perpendicular del eje arbitrario al que pasa por el centro de masas.

Ilustración del teorema de Steiner o del eje paralelo.

Cálculo de momentos de inercia

Para facilitar el cálculo de los momentos de inercia se aplican varias propiedades elementales de carácter geométrico:

  • Aditividad, según la cual el momento de inercia de un sólido complejo puede calcularse como la suma de los momentos de inercia de las formas geométricas elementales que lo constituyen.
  • Reordenación de las partes del sólido, según la cual el momento de inercia de un cuerpo equivale al de otro sólido conocido en el que se pueda transformar por redistribución de sus formas geométricas elementales.
  • Simetría, que permite descomponer un sólido en varias partes simétricas que contribuyen por igual al momento de inercia global.

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