Órbitas celestes y energía mecánica

La astronomía sirvió durante siglos como inspiradora de la filosofía y del pensamiento. Desde la época renacentista, en Europa la observación de los cuerpos celestes permitió deducir leyes del movimiento basadas en el principio de la gravitación universal, que sirvieron de base al nacimiento de la física moderna y se plasmaron en los primeros modelos sistemáticos de descripción de los sistemas mecánicos.

Movimientos orbítales en un campo central

El estudio del movimiento de cuerpos sometidos a un campo central que describen trayectorias circulares es un problema clásico de la física. En este tipo de movimiento existe una interacción contrapuesta: una fuerza centrípeta de atracción hacia adentro que ejerce el campo central sobre el cuerpo en movimiento orbital.

Un caso típico de movimiento orbital en un campo central es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, o de los satélites (la Luna o satélites artificiales) en torno a ella. Aunque las órbitas descritas son elípticas, su excentricidad es tan baja que pueden considerarse circulares. El campo central que actúa en este movimiento es de tipo gravitatorio; si M es la masa que crea el campo y R la distancia a la que orbita el cuerpo sometido al mismo, siendo G la constante de gravitación universal, el módulo de la velocidad de dicho cuerpo es el siguiente:

Leyes de conservación

El conjunto formado por un cuerpo que engendra un campo gravitatorio central y otro sometido a la acción de dicho campo puede considerarse un sistema aislado. Como tal, cumple dos principios básicos de conservación:

  • De la energía mecánica, de manera que la suma de energías cinética y potencial del sistema permanece constante en dos instantes cualesquiera. Este enunciado se conoce con el nombre de teorema de las fuerzas vivas y se expresa matemáticamente como:

  • Conservación del momento angular L, que se define como el producto vectorial del vector de posición r de una partícula por su cantidad de movimiento.

Para que el momento angular se conserve es necesario que la órbita descrita por el cuerpo tenga lugar en un plano.

Potencial efectivo

En un movimiento orbital dentro de un campo central se distinguen dos componentes de la velocidad:

  • Velocidad radial, que apunta en todo momento hacia el centro de la órbita y determina el cambio de la posición del cuerpo con respecto al origen.
  • Velocidad orbital, en la dirección de la trayectoria de desplazamiento y perpendicular a la anterior.

La energía mecánica total del sistema, expresada en términos de las velocidades radial (vr) y orbital (vorb), tiene la forma siguiente:

donde L es el momento angular y m la masa del cuerpo, M la masa que crea el campo gravitatorio, r la distancia entre ambas masas y G la constante de gravitación universal.

Puede entonces definirse una magnitud llamada potencial efectivo como la energía potencial por unidad de masa y cuyo valor es:

El estudio del potencial efectivo tiene gran interés en la caracterización de las órbitas celestes.

Órbitas elípticas

Si la energía mecánica total de un sistema celeste es menor que cero, la masa en órbita está comprendida entre dos límites de distancia, y la trayectoria descrita es una elipse. Tal es el caso de los planetas que giran alrededor del Sol y de los satélites que orbitan en torno a los cuerpos planetarios (por ejemplo, la Luna).

Potencial efectivo de una órbita cerrada (a), que caracteriza a las órbitas elípticas (b).

Órbitas parabólicas e hiperbólicas

Cuando la energía mecánica global es mayor que cero, el movimiento de la masa celeste es abierto y su distancia al centro de la órbita tiene sólo un límite inferior. Por tanto, el cuerpo describirá una trayectoria hiperbólica con el foco de la hipérbola en el centro del campo (por ejemplo, el Sol). Éste es el movimiento de la mayoría de los cometas en el Sistema Solar. Finalmente, si la energía mecánica global es cero, el movimiento descrito es una parábola.

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