Flujo de un campo vectorial. Ley de Gauss

Con la aplicación de las matemáticas a diversos ámbitos de la ciencia se potenciaron enormemente las herramientas de diseño y cálculo científico, así como los métodos de elaboración de los modelos teóricos. En el marco de la física, colaboró decisivamente a este proceso de sistematización matemática el alemán Carl Friedrich Gauss, que desarrolló la noción y las propiedades de campo para explicar los fenómenos físicos de la naturaleza.

Flujo de un vector

En cálculo vectorial, el flujo de un vector que atraviesa una superficie se define como una magnitud determinada por el producto escalar del vector dado por el vector representativo de la superficie.

Vector representativo del área de un paralelogramo.

Este vector de superficie, denotado comúnmente por , es perpendicular a la superficie, dirigido hacia su parte convexa, y su módulo es igual al área de la superficie.

En el ejemplo sencillo de un paralelogramo de lados AB y AD, el vector de superficie vendría dado por el producto vectorial:

Flujo del campo gravitatorio

La noción de flujo de un vector se aplica preferentemente a las intensidades de los campos vectoriales. Así, en todo campo gravitatorio de intensidad puede definirse un flujo de campo que, extendido a toda la superficie del objeto considerado, tendría el siguiente valor:

donde representa el vector de superficie de cada elemento infinitesimal de área atravesada por el campo gravitatorio en cuestión.

Cuando el campo es constante y la superficie sobre la que se extiende la integral es una porción de plano, el flujo del campo gravitatorio se convierte en:

donde q es el ángulo que forman la superficie y el campo.

El vector normal de superficie en varias superficies cerradas.

Ley de Gauss

El cálculo del flujo de un campo que atraviesa una superficie cerrada arbitraria resulta, en principio, complejo. Sin embargo, los trabajos del matemático alemán Carl Friedrich Gauss permitieron ofrecer una solución sencilla al problema.

En el caso del campo gravitatorio (o electrostático), y dada una masa (o una carga) puntual engendradora del campo, el flujo total del campo que atraviesa superficies esféricas que rodean a la partícula viene dado por la expresión:

De esta forma, según la ley de Gauss, el flujo de un campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es proporcional a la masa que crea el campo contenida en el volumen encerrado por la superficie. Análogamente, el flujo del campo electrostático a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga eléctrica que crea el campo.

Flujo de un campo constante que atraviesa un paralelogramo.

Distribución de masa con simetría esférica

La ley de Gauss resulta de gran utilidad cuando se trata de calcular el flujo de un campo en distribuciones de masa (campo gravitatorio) o carga (electrostático) dotadas de ciertos patrones de simetría o regularidad.

Un caso de estudio especialmente sencillo es aquél para el que la distribución de masa o carga que genera el campo tiene simetría esférica. Entonces, el campo originado debe tener también este tipo de simetría.

Representación de un campo no radial con simetría esférica en dos dimensiones (a) y en tres dimensiones (b).

En el campo gravitatorio, por la definición de flujo se obtiene que:

Para el campo electrostático se obtiene una expresión similar.

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