El péndulo. Movimientos armónicos compuestos

Una aplicación directa y sencilla del estudio de las oscilaciones periódicas es el péndulo. Este sencillo artilugio con aplicaciones en la construcción de relojes y maquinarias, puede esquematizarse de manera que se desarrollen con un alto grado de precisión las ecuaciones que rigen su comportamiento físico.

Péndulo simple

Un péndulo simple es un sistema constituido por un objeto material, llamado lenteja, suspendido de un hilo, que se considera inextensible y sin masa, y sujeto a un punto fijo en uno de sus extremos. La única acción externa ejercida sobre este sistema es el peso del objeto, que alcanza el equilibrio en una posición perfectamente vertical, donde el peso compensa exactamente la tensión del hilo.

Si se desvia la posición del cuerpo un cierto ángulo con respecto a la vertical, empieza a oscilar en un movimiento que se asemeja bastante, al movimiento armonico simple cuando los ángulos de desplazamiento son pequeños.

En un péndulo en movimiento, el peso se puede descomponer en dos elementos:

  • La componente en la dirección del movimiento, o fuerza tangencial (FD).
  • Una componente perpendicular a la anterior (FP), que está compensada por la tensión del hilo (FT).

Cuando los desplazamientos de la lenteja con respecto a la vertical son pequeños, el movimiento pendular se corresponde aproximadamente con un movimiento armónico simple cuyo período T es:

siendo l la longitud del hilo y g la aceleración de la gravedad.

Esquema de un péndulo simple, formado por un cuerpo suspendido de un hilo inextensible cuya masa se considera insignificante.

Tensión del hilo

En un movimiento pendular, la tensión del hilo no se mantiene constante. En cada momento, la fuerza centrípeta neta que actúa sobre la lenteja será la suma de la tensión del hilo más la componente perpendicular del peso:

Como el movimiento es circular y todas las fuerzas anteriores tienen la misma dirección, se deduce la siguiente ecuación para los módulos de las fuerzas:

donde a es el ángulo que forma en cada instante el hilo con la vertical.

Movimiento armónico compuesto

En la naturaleza son frecuentes las oscilaciones periódicas que no se corresponden con movimientos armónicos simples, sino que pueden describirse como la superposición de movimientos con frecuencias que son múltiplos unas de otras. Estas clases de oscilaciones reciben el nombre de movimientos armónicos compuestos.

La ecuación de la función espacial de un movimiento armónico compuesto puede escribirse del modo siguiente:

siendo n un número entero.

Período de un movimiento armónico compuesto, que se corresponde con el del armónico simple de período más largo.

En un movimiento armónico compuesto pueden distinguirse varios componentes:

  • El primer sumando de la serie, que tiene la menor frecuencia de todos, recibe el nombre de armónico fundamental.
  • Los restantes sumandos se denominan armónicos secundarios.

Y este fenómeno de los armónicos superpuestos es relativamente frecuente en la naturaleza y se aprecia claramente, por ejemplo, en los acordes musicales.

Descripción de Fourier

En relación con la descripción del movimiento armónico compuesto, el matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) demostró que toda oscilación de período T puede considerarse un movimiento armónico compuesto formado por una serie finita o infinita de sumandos de movimientos armónicos simples, cuyas frecuencias sucesivas son:

En esta descripción, los primeros términos de la serie, con frecuencias más bajas, son mucho más intensos que los de frecuencias altas y tienen mayor importancia en la descripción real del movimiento oscilatorio.

Ilustración gráfica de las series de Fourier para oscilaciones periódicas. Como puede verse, el movimiento real de la segunda gráfica puede reproducirse con bastante exactitud mediante una suma de un número limitado de armónicos simples.

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